Books about
Magic Squares
at Amazon.Canada


Amazing Math Whiz
products available:

Buttons, Magnets,
t-shirts, Tote bags,
Teddy bears, & more

Books about Magic Squares at Amazon.com

Be sure to visit the
Magic Squares Main Menu
for other topics including Irregular Squares, Algebraic Squares and more.

Other Magic Square Sizes: 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 *
21 * 23 * 25 * 27 * 29 * 31 * 33 * 35 * 37 * 39 * 41 * 43 * 45 * 47 * 49 * 51 * 53 * 55 * 57 * 59 *
61 * 63 * 65 * 67 * 69 * 71 * 73 * 75 * 77 * 79 * 81 * 83 * 85 * 87 * 89 * 91 * 93 * 95 * 97 * 99 *

A 83x83 Magic Square

Scroll down to see a magic square
in which all rows, columns, and both diagonals
add up to the same magic sum (285935)

A Magic Square is a square of numbers in which every row, every column, and both diagonals add up to the same number. This number is often called the magic sum. The 83 by 83 magic square shown below has a magic sum equal to 285935.

Though magic squares can be made with non-consecutive and non-regular sequences, they are usually seen made up of consecutive numbers. To the best of my knowledge, the middle number in the sequence must be in the center square, and the magic sum will be equal to this middle number times the number of rows in the square. (In the case of 3x3 squares, I have proved that the middle number MUST be equal to one-third of the sum. See proof here.)

All odd-size Magic Squares can be made with the method shown below, which can be summarized as "start in the middle of the top and keep moving up and to the right except when you get blocked, in which case drop down and continue." The more detailed directions about creating these squares can be found further below. There are other methods for creating magic squares, but this is the easiest to learn. (There are basically only two methods of creating a 3x3 square but the larger squares have a large number of irregular variants, and probably other regular methods.)

Read more about Magic Squares

If you'd like to read more about magic squares, click one of these links to look for books about Magic Squares at Amazon.com, at Amazon.canada, and at Amazon.co.UK.

A 83-by-83 Magic Square

(Magic Sum = 285935)

Books about
Magic Squares
at Amazon.co.UK


Support Our Site
by purchasing our
Amazing Math Whiz
products

and other
Amazing Messages

3488 3573 3658 3743 3828 3913 3998 4083 4168 4253 4338 4423 4508 4593 4678 4763 4848 4933 5018 5103 5188 5273 5358 5443 5528 5613 5698 5783 5868 5953 6038 6123 6208 6293 6378 6463 6548 6633 6718 6803 6888 1 86 171 256 341 426 511 596 681 766 851 936 1021 1106 1191 1276 1361 1446 1531 1616 1701 1786 1871 1956 2041 2126 2211 2296 2381 2466 2551 2636 2721 2806 2891 2976 3061 3146 3231 3316 3401 3486
3572 3657 3742 3827 3912 3997 4082 4167 4252 4337 4422 4507 4592 4677 4762 4847 4932 5017 5102 5187 5272 5357 5442 5527 5612 5697 5782 5867 5952 6037 6122 6207 6292 6377 6462 6547 6632 6717 6802 6887 83 85 170 255 340 425 510 595 680 765 850 935 1020 1105 1190 1275 1360 1445 1530 1615 1700 1785 1870 1955 2040 2125 2210 2295 2380 2465 2550 2635 2720 2805 2890 2975 3060 3145 3230 3315 3400 3485 3487
3656 3741 3826 3911 3996 4081 4166 4251 4336 4421 4506 4591 4676 4761 4846 4931 5016 5101 5186 5271 5356 5441 5526 5611 5696 5781 5866 5951 6036 6121 6206 6291 6376 6461 6546 6631 6716 6801 6886 82 84 169 254 339 424 509 594 679 764 849 934 1019 1104 1189 1274 1359 1444 1529 1614 1699 1784 1869 1954 2039 2124 2209 2294 2379 2464 2549 2634 2719 2804 2889 2974 3059 3144 3229 3314 3399 3484 3569 3571
3740 3825 3910 3995 4080 4165 4250 4335 4420 4505 4590 4675 4760 4845 4930 5015 5100 5185 5270 5355 5440 5525 5610 5695 5780 5865 5950 6035 6120 6205 6290 6375 6460 6545 6630 6715 6800 6885 81 166 168 253 338 423 508 593 678 763 848 933 1018 1103 1188 1273 1358 1443 1528 1613 1698 1783 1868 1953 2038 2123 2208 2293 2378 2463 2548 2633 2718 2803 2888 2973 3058 3143 3228 3313 3398 3483 3568 3570 3655
3824 3909 3994 4079 4164 4249 4334 4419 4504 4589 4674 4759 4844 4929 5014 5099 5184 5269 5354 5439 5524 5609 5694 5779 5864 5949 6034 6119 6204 6289 6374 6459 6544 6629 6714 6799 6884 80 165 167 252 337 422 507 592 677 762 847 932 1017 1102 1187 1272 1357 1442 1527 1612 1697 1782 1867 1952 2037 2122 2207 2292 2377 2462 2547 2632 2717 2802 2887 2972 3057 3142 3227 3312 3397 3482 3567 3652 3654 3739
3908 3993 4078 4163 4248 4333 4418 4503 4588 4673 4758 4843 4928 5013 5098 5183 5268 5353 5438 5523 5608 5693 5778 5863 5948 6033 6118 6203 6288 6373 6458 6543 6628 6713 6798 6883 79 164 249 251 336 421 506 591 676 761 846 931 1016 1101 1186 1271 1356 1441 1526 1611 1696 1781 1866 1951 2036 2121 2206 2291 2376 2461 2546 2631 2716 2801 2886 2971 3056 3141 3226 3311 3396 3481 3566 3651 3653 3738 3823
3992 4077 4162 4247 4332 4417 4502 4587 4672 4757 4842 4927 5012 5097 5182 5267 5352 5437 5522 5607 5692 5777 5862 5947 6032 6117 6202 6287 6372 6457 6542 6627 6712 6797 6882 78 163 248 250 335 420 505 590 675 760 845 930 1015 1100 1185 1270 1355 1440 1525 1610 1695 1780 1865 1950 2035 2120 2205 2290 2375 2460 2545 2630 2715 2800 2885 2970 3055 3140 3225 3310 3395 3480 3565 3650 3735 3737 3822 3907
4076 4161 4246 4331 4416 4501 4586 4671 4756 4841 4926 5011 5096 5181 5266 5351 5436 5521 5606 5691 5776 5861 5946 6031 6116 6201 6286 6371 6456 6541 6626 6711 6796 6881 77 162 247 332 334 419 504 589 674 759 844 929 1014 1099 1184 1269 1354 1439 1524 1609 1694 1779 1864 1949 2034 2119 2204 2289 2374 2459 2544 2629 2714 2799 2884 2969 3054 3139 3224 3309 3394 3479 3564 3649 3734 3736 3821 3906 3991
4160 4245 4330 4415 4500 4585 4670 4755 4840 4925 5010 5095 5180 5265 5350 5435 5520 5605 5690 5775 5860 5945 6030 6115 6200 6285 6370 6455 6540 6625 6710 6795 6880 76 161 246 331 333 418 503 588 673 758 843 928 1013 1098 1183 1268 1353 1438 1523 1608 1693 1778 1863 1948 2033 2118 2203 2288 2373 2458 2543 2628 2713 2798 2883 2968 3053 3138 3223 3308 3393 3478 3563 3648 3733 3818 3820 3905 3990 4075
4244 4329 4414 4499 4584 4669 4754 4839 4924 5009 5094 5179 5264 5349 5434 5519 5604 5689 5774 5859 5944 6029 6114 6199 6284 6369 6454 6539 6624 6709 6794 6879 75 160 245 330 415 417 502 587 672 757 842 927 1012 1097 1182 1267 1352 1437 1522 1607 1692 1777 1862 1947 2032 2117 2202 2287 2372 2457 2542 2627 2712 2797 2882 2967 3052 3137 3222 3307 3392 3477 3562 3647 3732 3817 3819 3904 3989 4074 4159
4328 4413 4498 4583 4668 4753 4838 4923 5008 5093 5178 5263 5348 5433 5518 5603 5688 5773 5858 5943 6028 6113 6198 6283 6368 6453 6538 6623 6708 6793 6878 74 159 244 329 414 416 501 586 671 756 841 926 1011 1096 1181 1266 1351 1436 1521 1606 1691 1776 1861 1946 2031 2116 2201 2286 2371 2456 2541 2626 2711 2796 2881 2966 3051 3136 3221 3306 3391 3476 3561 3646 3731 3816 3901 3903 3988 4073 4158 4243
4412 4497 4582 4667 4752 4837 4922 5007 5092 5177 5262 5347 5432 5517 5602 5687 5772 5857 5942 6027 6112 6197 6282 6367 6452 6537 6622 6707 6792 6877 73 158 243 328 413 498 500 585 670 755 840 925 1010 1095 1180 1265 1350 1435 1520 1605 1690 1775 1860 1945 2030 2115 2200 2285 2370 2455 2540 2625 2710 2795 2880 2965 3050 3135 3220 3305 3390 3475 3560 3645 3730 3815 3900 3902 3987 4072 4157 4242 4327
4496 4581 4666 4751 4836 4921 5006 5091 5176 5261 5346 5431 5516 5601 5686 5771 5856 5941 6026 6111 6196 6281 6366 6451 6536 6621 6706 6791 6876 72 157 242 327 412 497 499 584 669 754 839 924 1009 1094 1179 1264 1349 1434 1519 1604 1689 1774 1859 1944 2029 2114 2199 2284 2369 2454 2539 2624 2709 2794 2879 2964 3049 3134 3219 3304 3389 3474 3559 3644 3729 3814 3899 3984 3986 4071 4156 4241 4326 4411
4580 4665 4750 4835 4920 5005 5090 5175 5260 5345 5430 5515 5600 5685 5770 5855 5940 6025 6110 6195 6280 6365 6450 6535 6620 6705 6790 6875 71 156 241 326 411 496 581 583 668 753 838 923 1008 1093 1178 1263 1348 1433 1518 1603 1688 1773 1858 1943 2028 2113 2198 2283 2368 2453 2538 2623 2708 2793 2878 2963 3048 3133 3218 3303 3388 3473 3558 3643 3728 3813 3898 3983 3985 4070 4155 4240 4325 4410 4495
4664 4749 4834 4919 5004 5089 5174 5259 5344 5429 5514 5599 5684 5769 5854 5939 6024 6109 6194 6279 6364 6449 6534 6619 6704 6789 6874 70 155 240 325 410 495 580 582 667 752 837 922 1007 1092 1177 1262 1347 1432 1517 1602 1687 1772 1857 1942 2027 2112 2197 2282 2367 2452 2537 2622 2707 2792 2877 2962 3047 3132 3217 3302 3387 3472 3557 3642 3727 3812 3897 3982 4067 4069 4154 4239 4324 4409 4494 4579
4748 4833 4918 5003 5088 5173 5258 5343 5428 5513 5598 5683 5768 5853 5938 6023 6108 6193 6278 6363 6448 6533 6618 6703 6788 6873 69 154 239 324 409 494 579 664 666 751 836 921 1006 1091 1176 1261 1346 1431 1516 1601 1686 1771 1856 1941 2026 2111 2196 2281 2366 2451 2536 2621 2706 2791 2876 2961 3046 3131 3216 3301 3386 3471 3556 3641 3726 3811 3896 3981 4066 4068 4153 4238 4323 4408 4493 4578 4663
4832 4917 5002 5087 5172 5257 5342 5427 5512 5597 5682 5767 5852 5937 6022 6107 6192 6277 6362 6447 6532 6617 6702 6787 6872 68 153 238 323 408 493 578 663 665 750 835 920 1005 1090 1175 1260 1345 1430 1515 1600 1685 1770 1855 1940 2025 2110 2195 2280 2365 2450 2535 2620 2705 2790 2875 2960 3045 3130 3215 3300 3385 3470 3555 3640 3725 3810 3895 3980 4065 4150 4152 4237 4322 4407 4492 4577 4662 4747
4916 5001 5086 5171 5256 5341 5426 5511 5596 5681 5766 5851 5936 6021 6106 6191 6276 6361 6446 6531 6616 6701 6786 6871 67 152 237 322 407 492 577 662 747 749 834 919 1004 1089 1174 1259 1344 1429 1514 1599 1684 1769 1854 1939 2024 2109 2194 2279 2364 2449 2534 2619 2704 2789 2874 2959 3044 3129 3214 3299 3384 3469 3554 3639 3724 3809 3894 3979 4064 4149 4151 4236 4321 4406 4491 4576 4661 4746 4831
5000 5085 5170 5255 5340 5425 5510 5595 5680 5765 5850 5935 6020 6105 6190 6275 6360 6445 6530 6615 6700 6785 6870 66 151 236 321 406 491 576 661 746 748 833 918 1003 1088 1173 1258 1343 1428 1513 1598 1683 1768 1853 1938 2023 2108 2193 2278 2363 2448 2533 2618 2703 2788 2873 2958 3043 3128 3213 3298 3383 3468 3553 3638 3723 3808 3893 3978 4063 4148 4233 4235 4320 4405 4490 4575 4660 4745 4830 4915
5084 5169 5254 5339 5424 5509 5594 5679 5764 5849 5934 6019 6104 6189 6274 6359 6444 6529 6614 6699 6784 6869 65 150 235 320 405 490 575 660 745 830 832 917 1002 1087 1172 1257 1342 1427 1512 1597 1682 1767 1852 1937 2022 2107 2192 2277 2362 2447 2532 2617 2702 2787 2872 2957 3042 3127 3212 3297 3382 3467 3552 3637 3722 3807 3892 3977 4062 4147 4232 4234 4319 4404 4489 4574 4659 4744 4829 4914 4999
5168 5253 5338 5423 5508 5593 5678 5763 5848 5933 6018 6103 6188 6273 6358 6443 6528 6613 6698 6783 6868 64 149 234 319 404 489 574 659 744 829 831 916 1001 1086 1171 1256 1341 1426 1511 1596 1681 1766 1851 1936 2021 2106 2191 2276 2361 2446 2531 2616 2701 2786 2871 2956 3041 3126 3211 3296 3381 3466 3551 3636 3721 3806 3891 3976 4061 4146 4231 4316 4318 4403 4488 4573 4658 4743 4828 4913 4998 5083
5252 5337 5422 5507 5592 5677 5762 5847 5932 6017 6102 6187 6272 6357 6442 6527 6612 6697 6782 6867 63 148 233 318 403 488 573 658 743 828 913 915 1000 1085 1170 1255 1340 1425 1510 1595 1680 1765 1850 1935 2020 2105 2190 2275 2360 2445 2530 2615 2700 2785 2870 2955 3040 3125 3210 3295 3380 3465 3550 3635 3720 3805 3890 3975 4060 4145 4230 4315 4317 4402 4487 4572 4657 4742 4827 4912 4997 5082 5167
5336 5421 5506 5591 5676 5761 5846 5931 6016 6101 6186 6271 6356 6441 6526 6611 6696 6781 6866 62 147 232 317 402 487 572 657 742 827 912 914 999 1084 1169 1254 1339 1424 1509 1594 1679 1764 1849 1934 2019 2104 2189 2274 2359 2444 2529 2614 2699 2784 2869 2954 3039 3124 3209 3294 3379 3464 3549 3634 3719 3804 3889 3974 4059 4144 4229 4314 4399 4401 4486 4571 4656 4741 4826 4911 4996 5081 5166 5251
5420 5505 5590 5675 5760 5845 5930 6015 6100 6185 6270 6355 6440 6525 6610 6695 6780 6865 61 146 231 316 401 486 571 656 741 826 911 996 998 1083 1168 1253 1338 1423 1508 1593 1678 1763 1848 1933 2018 2103 2188 2273 2358 2443 2528 2613 2698 2783 2868 2953 3038 3123 3208 3293 3378 3463 3548 3633 3718 3803 3888 3973 4058 4143 4228 4313 4398 4400 4485 4570 4655 4740 4825 4910 4995 5080 5165 5250 5335
5504 5589 5674 5759 5844 5929 6014 6099 6184 6269 6354 6439 6524 6609 6694 6779 6864 60 145 230 315 400 485 570 655 740 825 910 995 997 1082 1167 1252 1337 1422 1507 1592 1677 1762 1847 1932 2017 2102 2187 2272 2357 2442 2527 2612 2697 2782 2867 2952 3037 3122 3207 3292 3377 3462 3547 3632 3717 3802 3887 3972 4057 4142 4227 4312 4397 4482 4484 4569 4654 4739 4824 4909 4994 5079 5164 5249 5334 5419
5588 5673 5758 5843 5928 6013 6098 6183 6268 6353 6438 6523 6608 6693 6778 6863 59 144 229 314 399 484 569 654 739 824 909 994 1079 1081 1166 1251 1336 1421 1506 1591 1676 1761 1846 1931 2016 2101 2186 2271 2356 2441 2526 2611 2696 2781 2866 2951 3036 3121 3206 3291 3376 3461 3546 3631 3716 3801 3886 3971 4056 4141 4226 4311 4396 4481 4483 4568 4653 4738 4823 4908 4993 5078 5163 5248 5333 5418 5503
5672 5757 5842 5927 6012 6097 6182 6267 6352 6437 6522 6607 6692 6777 6862 58 143 228 313 398 483 568 653 738 823 908 993 1078 1080 1165 1250 1335 1420 1505 1590 1675 1760 1845 1930 2015 2100 2185 2270 2355 2440 2525 2610 2695 2780 2865 2950 3035 3120 3205 3290 3375 3460 3545 3630 3715 3800 3885 3970 4055 4140 4225 4310 4395 4480 4565 4567 4652 4737 4822 4907 4992 5077 5162 5247 5332 5417 5502 5587
5756 5841 5926 6011 6096 6181 6266 6351 6436 6521 6606 6691 6776 6861 57 142 227 312 397 482 567 652 737 822 907 992 1077 1162 1164 1249 1334 1419 1504 1589 1674 1759 1844 1929 2014 2099 2184 2269 2354 2439 2524 2609 2694 2779 2864 2949 3034 3119 3204 3289 3374 3459 3544 3629 3714 3799 3884 3969 4054 4139 4224 4309 4394 4479 4564 4566 4651 4736 4821 4906 4991 5076 5161 5246 5331 5416 5501 5586 5671
5840 5925 6010 6095 6180 6265 6350 6435 6520 6605 6690 6775 6860 56 141 226 311 396 481 566 651 736 821 906 991 1076 1161 1163 1248 1333 1418 1503 1588 1673 1758 1843 1928 2013 2098 2183 2268 2353 2438 2523 2608 2693 2778 2863 2948 3033 3118 3203 3288 3373 3458 3543 3628 3713 3798 3883 3968 4053 4138 4223 4308 4393 4478 4563 4648 4650 4735 4820 4905 4990 5075 5160 5245 5330 5415 5500 5585 5670 5755
5924 6009 6094 6179 6264 6349 6434 6519 6604 6689 6774 6859 55 140 225 310 395 480 565 650 735 820 905 990 1075 1160 1245 1247 1332 1417 1502 1587 1672 1757 1842 1927 2012 2097 2182 2267 2352 2437 2522 2607 2692 2777 2862 2947 3032 3117 3202 3287 3372 3457 3542 3627 3712 3797 3882 3967 4052 4137 4222 4307 4392 4477 4562 4647 4649 4734 4819 4904 4989 5074 5159 5244 5329 5414 5499 5584 5669 5754 5839
6008 6093 6178 6263 6348 6433 6518 6603 6688 6773 6858 54 139 224 309 394 479 564 649 734 819 904 989 1074 1159 1244 1246 1331 1416 1501 1586 1671 1756 1841 1926 2011 2096 2181 2266 2351 2436 2521 2606 2691 2776 2861 2946 3031 3116 3201 3286 3371 3456 3541 3626 3711 3796 3881 3966 4051 4136 4221 4306 4391 4476 4561 4646 4731 4733 4818 4903 4988 5073 5158 5243 5328 5413 5498 5583 5668 5753 5838 5923
6092 6177 6262 6347 6432 6517 6602 6687 6772 6857 53 138 223 308 393 478 563 648 733 818 903 988 1073 1158 1243 1328 1330 1415 1500 1585 1670 1755 1840 1925 2010 2095 2180 2265 2350 2435 2520 2605 2690 2775 2860 2945 3030 3115 3200 3285 3370 3455 3540 3625 3710 3795 3880 3965 4050 4135 4220 4305 4390 4475 4560 4645 4730 4732 4817 4902 4987 5072 5157 5242 5327 5412 5497 5582 5667 5752 5837 5922 6007
6176 6261 6346 6431 6516 6601 6686 6771 6856 52 137 222 307 392 477 562 647 732 817 902 987 1072 1157 1242 1327 1329 1414 1499 1584 1669 1754 1839 1924 2009 2094 2179 2264 2349 2434 2519 2604 2689 2774 2859 2944 3029 3114 3199 3284 3369 3454 3539 3624 3709 3794 3879 3964 4049 4134 4219 4304 4389 4474 4559 4644 4729 4814 4816 4901 4986 5071 5156 5241 5326 5411 5496 5581 5666 5751 5836 5921 6006 6091
6260 6345 6430 6515 6600 6685 6770 6855 51 136 221 306 391 476 561 646 731 816 901 986 1071 1156 1241 1326 1411 1413 1498 1583 1668 1753 1838 1923 2008 2093 2178 2263 2348 2433 2518 2603 2688 2773 2858 2943 3028 3113 3198 3283 3368 3453 3538 3623 3708 3793 3878 3963 4048 4133 4218 4303 4388 4473 4558 4643 4728 4813 4815 4900 4985 5070 5155 5240 5325 5410 5495 5580 5665 5750 5835 5920 6005 6090 6175
6344 6429 6514 6599 6684 6769 6854 50 135 220 305 390 475 560 645 730 815 900 985 1070 1155 1240 1325 1410 1412 1497 1582 1667 1752 1837 1922 2007 2092 2177 2262 2347 2432 2517 2602 2687 2772 2857 2942 3027 3112 3197 3282 3367 3452 3537 3622 3707 3792 3877 3962 4047 4132 4217 4302 4387 4472 4557 4642 4727 4812 4897 4899 4984 5069 5154 5239 5324 5409 5494 5579 5664 5749 5834 5919 6004 6089 6174 6259
6428 6513 6598 6683 6768 6853 49 134 219 304 389 474 559 644 729 814 899 984 1069 1154 1239 1324 1409 1494 1496 1581 1666 1751 1836 1921 2006 2091 2176 2261 2346 2431 2516 2601 2686 2771 2856 2941 3026 3111 3196 3281 3366 3451 3536 3621 3706 3791 3876 3961 4046 4131 4216 4301 4386 4471 4556 4641 4726 4811 4896 4898 4983 5068 5153 5238 5323 5408 5493 5578 5663 5748 5833 5918 6003 6088 6173 6258 6343
6512 6597 6682 6767 6852 48 133 218 303 388 473 558 643 728 813 898 983 1068 1153 1238 1323 1408 1493 1495 1580 1665 1750 1835 1920 2005 2090 2175 2260 2345 2430 2515 2600 2685 2770 2855 2940 3025 3110 3195 3280 3365 3450 3535 3620 3705 3790 3875 3960 4045 4130 4215 4300 4385 4470 4555 4640 4725 4810 4895 4980 4982 5067 5152 5237 5322 5407 5492 5577 5662 5747 5832 5917 6002 6087 6172 6257 6342 6427
6596 6681 6766 6851 47 132 217 302 387 472 557 642 727 812 897 982 1067 1152 1237 1322 1407 1492 1577 1579 1664 1749 1834 1919 2004 2089 2174 2259 2344 2429 2514 2599 2684 2769 2854 2939 3024 3109 3194 3279 3364 3449 3534 3619 3704 3789 3874 3959 4044 4129 4214 4299 4384 4469 4554 4639 4724 4809 4894 4979 4981 5066 5151 5236 5321 5406 5491 5576 5661 5746 5831 5916 6001 6086 6171 6256 6341 6426 6511
6680 6765 6850 46 131 216 301 386 471 556 641 726 811 896 981 1066 1151 1236 1321 1406 1491 1576 1578 1663 1748 1833 1918 2003 2088 2173 2258 2343 2428 2513 2598 2683 2768 2853 2938 3023 3108 3193 3278 3363 3448 3533 3618 3703 3788 3873 3958 4043 4128 4213 4298 4383 4468 4553 4638 4723 4808 4893 4978 5063 5065 5150 5235 5320 5405 5490 5575 5660 5745 5830 5915 6000 6085 6170 6255 6340 6425 6510 6595
6764 6849 45 130 215 300 385 470 555 640 725 810 895 980 1065 1150 1235 1320 1405 1490 1575 1660 1662 1747 1832 1917 2002 2087 2172 2257 2342 2427 2512 2597 2682 2767 2852 2937 3022 3107 3192 3277 3362 3447 3532 3617 3702 3787 3872 3957 4042 4127 4212 4297 4382 4467 4552 4637 4722 4807 4892 4977 5062 5064 5149 5234 5319 5404 5489 5574 5659 5744 5829 5914 5999 6084 6169 6254 6339 6424 6509 6594 6679
6848 44 129 214 299 384 469 554 639 724 809 894 979 1064 1149 1234 1319 1404 1489 1574 1659 1661 1746 1831 1916 2001 2086 2171 2256 2341 2426 2511 2596 2681 2766 2851 2936 3021 3106 3191 3276 3361 3446 3531 3616 3701 3786 3871 3956 4041 4126 4211 4296 4381 4466 4551 4636 4721 4806 4891 4976 5061 5146 5148 5233 5318 5403 5488 5573 5658 5743 5828 5913 5998 6083 6168 6253 6338 6423 6508 6593 6678 6763
43 128 213 298 383 468 553 638 723 808 893 978 1063 1148 1233 1318 1403 1488 1573 1658 1743 1745 1830 1915 2000 2085 2170 2255 2340 2425 2510 2595 2680 2765 2850 2935 3020 3105 3190 3275 3360 3445 3530 3615 3700 3785 3870 3955 4040 4125 4210 4295 4380 4465 4550 4635 4720 4805 4890 4975 5060 5145 5147 5232 5317 5402 5487 5572 5657 5742 5827 5912 5997 6082 6167 6252 6337 6422 6507 6592 6677 6762 6847
127 212 297 382 467 552 637 722 807 892 977 1062 1147 1232 1317 1402 1487 1572 1657 1742 1744 1829 1914 1999 2084 2169 2254 2339 2424 2509 2594 2679 2764 2849 2934 3019 3104 3189 3274 3359 3444 3529 3614 3699 3784 3869 3954 4039 4124 4209 4294 4379 4464 4549 4634 4719 4804 4889 4974 5059 5144 5229 5231 5316 5401 5486 5571 5656 5741 5826 5911 5996 6081 6166 6251 6336 6421 6506 6591 6676 6761 6846 42
211 296 381 466 551 636 721 806 891 976 1061 1146 1231 1316 1401 1486 1571 1656 1741 1826 1828 1913 1998 2083 2168 2253 2338 2423 2508 2593 2678 2763 2848 2933 3018 3103 3188 3273 3358 3443 3528 3613 3698 3783 3868 3953 4038 4123 4208 4293 4378 4463 4548 4633 4718 4803 4888 4973 5058 5143 5228 5230 5315 5400 5485 5570 5655 5740 5825 5910 5995 6080 6165 6250 6335 6420 6505 6590 6675 6760 6845 41 126
295 380 465 550 635 720 805 890 975 1060 1145 1230 1315 1400 1485 1570 1655 1740 1825 1827 1912 1997 2082 2167 2252 2337 2422 2507 2592 2677 2762 2847 2932 3017 3102 3187 3272 3357 3442 3527 3612 3697 3782 3867 3952 4037 4122 4207 4292 4377 4462 4547 4632 4717 4802 4887 4972 5057 5142 5227 5312 5314 5399 5484 5569 5654 5739 5824 5909 5994 6079 6164 6249 6334 6419 6504 6589 6674 6759 6844 40 125 210
379 464 549 634 719 804 889 974 1059 1144 1229 1314 1399 1484 1569 1654 1739 1824 1909 1911 1996 2081 2166 2251 2336 2421 2506 2591 2676 2761 2846 2931 3016 3101 3186 3271 3356 3441 3526 3611 3696 3781 3866 3951 4036 4121 4206 4291 4376 4461 4546 4631 4716 4801 4886 4971 5056 5141 5226 5311 5313 5398 5483 5568 5653 5738 5823 5908 5993 6078 6163 6248 6333 6418 6503 6588 6673 6758 6843 39 124 209 294
463 548 633 718 803 888 973 1058 1143 1228 1313 1398 1483 1568 1653 1738 1823 1908 1910 1995 2080 2165 2250 2335 2420 2505 2590 2675 2760 2845 2930 3015 3100 3185 3270 3355 3440 3525 3610 3695 3780 3865 3950 4035 4120 4205 4290 4375 4460 4545 4630 4715 4800 4885 4970 5055 5140 5225 5310 5395 5397 5482 5567 5652 5737 5822 5907 5992 6077 6162 6247 6332 6417 6502 6587 6672 6757 6842 38 123 208 293 378
547 632 717 802 887 972 1057 1142 1227 1312 1397 1482 1567 1652 1737 1822 1907 1992 1994 2079 2164 2249 2334 2419 2504 2589 2674 2759 2844 2929 3014 3099 3184 3269 3354 3439 3524 3609 3694 3779 3864 3949 4034 4119 4204 4289 4374 4459 4544 4629 4714 4799 4884 4969 5054 5139 5224 5309 5394 5396 5481 5566 5651 5736 5821 5906 5991 6076 6161 6246 6331 6416 6501 6586 6671 6756 6841 37 122 207 292 377 462
631 716 801 886 971 1056 1141 1226 1311 1396 1481 1566 1651 1736 1821 1906 1991 1993 2078 2163 2248 2333 2418 2503 2588 2673 2758 2843 2928 3013 3098 3183 3268 3353 3438 3523 3608 3693 3778 3863 3948 4033 4118 4203 4288 4373 4458 4543 4628 4713 4798 4883 4968 5053 5138 5223 5308 5393 5478 5480 5565 5650 5735 5820 5905 5990 6075 6160 6245 6330 6415 6500 6585 6670 6755 6840 36 121 206 291 376 461 546
715 800 885 970 1055 1140 1225 1310 1395 1480 1565 1650 1735 1820 1905 1990 2075 2077 2162 2247 2332 2417 2502 2587 2672 2757 2842 2927 3012 3097 3182 3267 3352 3437 3522 3607 3692 3777 3862 3947 4032 4117 4202 4287 4372 4457 4542 4627 4712 4797 4882 4967 5052 5137 5222 5307 5392 5477 5479 5564 5649 5734 5819 5904 5989 6074 6159 6244 6329 6414 6499 6584 6669 6754 6839 35 120 205 290 375 460 545 630
799 884 969 1054 1139 1224 1309 1394 1479 1564 1649 1734 1819 1904 1989 2074 2076 2161 2246 2331 2416 2501 2586 2671 2756 2841 2926 3011 3096 3181 3266 3351 3436 3521 3606 3691 3776 3861 3946 4031 4116 4201 4286 4371 4456 4541 4626 4711 4796 4881 4966 5051 5136 5221 5306 5391 5476 5561 5563 5648 5733 5818 5903 5988 6073 6158 6243 6328 6413 6498 6583 6668 6753 6838 34 119 204 289 374 459 544 629 714
883 968 1053 1138 1223 1308 1393 1478 1563 1648 1733 1818 1903 1988 2073 2158 2160 2245 2330 2415 2500 2585 2670 2755 2840 2925 3010 3095 3180 3265 3350 3435 3520 3605 3690 3775 3860 3945 4030 4115 4200 4285 4370 4455 4540 4625 4710 4795 4880 4965 5050 5135 5220 5305 5390 5475 5560 5562 5647 5732 5817 5902 5987 6072 6157 6242 6327 6412 6497 6582 6667 6752 6837 33 118 203 288 373 458 543 628 713 798
967 1052 1137 1222 1307 1392 1477 1562 1647 1732 1817 1902 1987 2072 2157 2159 2244 2329 2414 2499 2584 2669 2754 2839 2924 3009 3094 3179 3264 3349 3434 3519 3604 3689 3774 3859 3944 4029 4114 4199 4284 4369 4454 4539 4624 4709 4794 4879 4964 5049 5134 5219 5304 5389 5474 5559 5644 5646 5731 5816 5901 5986 6071 6156 6241 6326 6411 6496 6581 6666 6751 6836 32 117 202 287 372 457 542 627 712 797 882
1051 1136 1221 1306 1391 1476 1561 1646 1731 1816 1901 1986 2071 2156 2241 2243 2328 2413 2498 2583 2668 2753 2838 2923 3008 3093 3178 3263 3348 3433 3518 3603 3688 3773 3858 3943 4028 4113 4198 4283 4368 4453 4538 4623 4708 4793 4878 4963 5048 5133 5218 5303 5388 5473 5558 5643 5645 5730 5815 5900 5985 6070 6155 6240 6325 6410 6495 6580 6665 6750 6835 31 116 201 286 371 456 541 626 711 796 881 966
1135 1220 1305 1390 1475 1560 1645 1730 1815 1900 1985 2070 2155 2240 2242 2327 2412 2497 2582 2667 2752 2837 2922 3007 3092 3177 3262 3347 3432 3517 3602 3687 3772 3857 3942 4027 4112 4197 4282 4367 4452 4537 4622 4707 4792 4877 4962 5047 5132 5217 5302 5387 5472 5557 5642 5727 5729 5814 5899 5984 6069 6154 6239 6324 6409 6494 6579 6664 6749 6834 30 115 200 285 370 455 540 625 710 795 880 965 1050
1219 1304 1389 1474 1559 1644 1729 1814 1899 1984 2069 2154 2239 2324 2326 2411 2496 2581 2666 2751 2836 2921 3006 3091 3176 3261 3346 3431 3516 3601 3686 3771 3856 3941 4026 4111 4196 4281 4366 4451 4536 4621 4706 4791 4876 4961 5046 5131 5216 5301 5386 5471 5556 5641 5726 5728 5813 5898 5983 6068 6153 6238 6323 6408 6493 6578 6663 6748 6833 29 114 199 284 369 454 539 624 709 794 879 964 1049 1134
1303 1388 1473 1558 1643 1728 1813 1898 1983 2068 2153 2238 2323 2325 2410 2495 2580 2665 2750 2835 2920 3005 3090 3175 3260 3345 3430 3515 3600 3685 3770 3855 3940 4025 4110 4195 4280 4365 4450 4535 4620 4705 4790 4875 4960 5045 5130 5215 5300 5385 5470 5555 5640 5725 5810 5812 5897 5982 6067 6152 6237 6322 6407 6492 6577 6662 6747 6832 28 113 198 283 368 453 538 623 708 793 878 963 1048 1133 1218
1387 1472 1557 1642 1727 1812 1897 1982 2067 2152 2237 2322 2407 2409 2494 2579 2664 2749 2834 2919 3004 3089 3174 3259 3344 3429 3514 3599 3684 3769 3854 3939 4024 4109 4194 4279 4364 4449 4534 4619 4704 4789 4874 4959 5044 5129 5214 5299 5384 5469 5554 5639 5724 5809 5811 5896 5981 6066 6151 6236 6321 6406 6491 6576 6661 6746 6831 27 112 197 282 367 452 537 622 707 792 877 962 1047 1132 1217 1302
1471 1556 1641 1726 1811 1896 1981 2066 2151 2236 2321 2406 2408 2493 2578 2663 2748 2833 2918 3003 3088 3173 3258 3343 3428 3513 3598 3683 3768 3853 3938 4023 4108 4193 4278 4363 4448 4533 4618 4703 4788 4873 4958 5043 5128 5213 5298 5383 5468 5553 5638 5723 5808 5893 5895 5980 6065 6150 6235 6320 6405 6490 6575 6660 6745 6830 26 111 196 281 366 451 536 621 706 791 876 961 1046 1131 1216 1301 1386
1555 1640 1725 1810 1895 1980 2065 2150 2235 2320 2405 2490 2492 2577 2662 2747 2832 2917 3002 3087 3172 3257 3342 3427 3512 3597 3682 3767 3852 3937 4022 4107 4192 4277 4362 4447 4532 4617 4702 4787 4872 4957 5042 5127 5212 5297 5382 5467 5552 5637 5722 5807 5892 5894 5979 6064 6149 6234 6319 6404 6489 6574 6659 6744 6829 25 110 195 280 365 450 535 620 705 790 875 960 1045 1130 1215 1300 1385 1470
1639 1724 1809 1894 1979 2064 2149 2234 2319 2404 2489 2491 2576 2661 2746 2831 2916 3001 3086 3171 3256 3341 3426 3511 3596 3681 3766 3851 3936 4021 4106 4191 4276 4361 4446 4531 4616 4701 4786 4871 4956 5041 5126 5211 5296 5381 5466 5551 5636 5721 5806 5891 5976 5978 6063 6148 6233 6318 6403 6488 6573 6658 6743 6828 24 109 194 279 364 449 534 619 704 789 874 959 1044 1129 1214 1299 1384 1469 1554
1723 1808 1893 1978 2063 2148 2233 2318 2403 2488 2573 2575 2660 2745 2830 2915 3000 3085 3170 3255 3340 3425 3510 3595 3680 3765 3850 3935 4020 4105 4190 4275 4360 4445 4530 4615 4700 4785 4870 4955 5040 5125 5210 5295 5380 5465 5550 5635 5720 5805 5890 5975 5977 6062 6147 6232 6317 6402 6487 6572 6657 6742 6827 23 108 193 278 363 448 533 618 703 788 873 958 1043 1128 1213 1298 1383 1468 1553 1638
1807 1892 1977 2062 2147 2232 2317 2402 2487 2572 2574 2659 2744 2829 2914 2999 3084 3169 3254 3339 3424 3509 3594 3679 3764 3849 3934 4019 4104 4189 4274 4359 4444 4529 4614 4699 4784 4869 4954 5039 5124 5209 5294 5379 5464 5549 5634 5719 5804 5889 5974 6059 6061 6146 6231 6316 6401 6486 6571 6656 6741 6826 22 107 192 277 362 447 532 617 702 787 872 957 1042 1127 1212 1297 1382 1467 1552 1637 1722
1891 1976 2061 2146 2231 2316 2401 2486 2571 2656 2658 2743 2828 2913 2998 3083 3168 3253 3338 3423 3508 3593 3678 3763 3848 3933 4018 4103 4188 4273 4358 4443 4528 4613 4698 4783 4868 4953 5038 5123 5208 5293 5378 5463 5548 5633 5718 5803 5888 5973 6058 6060 6145 6230 6315 6400 6485 6570 6655 6740 6825 21 106 191 276 361 446 531 616 701 786 871 956 1041 1126 1211 1296 1381 1466 1551 1636 1721 1806
1975 2060 2145 2230 2315 2400 2485 2570 2655 2657 2742 2827 2912 2997 3082 3167 3252 3337 3422 3507 3592 3677 3762 3847 3932 4017 4102 4187 4272 4357 4442 4527 4612 4697 4782 4867 4952 5037 5122 5207 5292 5377 5462 5547 5632 5717 5802 5887 5972 6057 6142 6144 6229 6314 6399 6484 6569 6654 6739 6824 20 105 190 275 360 445 530 615 700 785 870 955 1040 1125 1210 1295 1380 1465 1550 1635 1720 1805 1890
2059 2144 2229 2314 2399 2484 2569 2654 2739 2741 2826 2911 2996 3081 3166 3251 3336 3421 3506 3591 3676 3761 3846 3931 4016 4101 4186 4271 4356 4441 4526 4611 4696 4781 4866 4951 5036 5121 5206 5291 5376 5461 5546 5631 5716 5801 5886 5971 6056 6141 6143 6228 6313 6398 6483 6568 6653 6738 6823 19 104 189 274 359 444 529 614 699 784 869 954 1039 1124 1209 1294 1379 1464 1549 1634 1719 1804 1889 1974
2143 2228 2313 2398 2483 2568 2653 2738 2740 2825 2910 2995 3080 3165 3250 3335 3420 3505 3590 3675 3760 3845 3930 4015 4100 4185 4270 4355 4440 4525 4610 4695 4780 4865 4950 5035 5120 5205 5290 5375 5460 5545 5630 5715 5800 5885 5970 6055 6140 6225 6227 6312 6397 6482 6567 6652 6737 6822 18 103 188 273 358 443 528 613 698 783 868 953 1038 1123 1208 1293 1378 1463 1548 1633 1718 1803 1888 1973 2058
2227 2312 2397 2482 2567 2652 2737 2822 2824 2909 2994 3079 3164 3249 3334 3419 3504 3589 3674 3759 3844 3929 4014 4099 4184 4269 4354 4439 4524 4609 4694 4779 4864 4949 5034 5119 5204 5289 5374 5459 5544 5629 5714 5799 5884 5969 6054 6139 6224 6226 6311 6396 6481 6566 6651 6736 6821 17 102 187 272 357 442 527 612 697 782 867 952 1037 1122 1207 1292 1377 1462 1547 1632 1717 1802 1887 1972 2057 2142
2311 2396 2481 2566 2651 2736 2821 2823 2908 2993 3078 3163 3248 3333 3418 3503 3588 3673 3758 3843 3928 4013 4098 4183 4268 4353 4438 4523 4608 4693 4778 4863 4948 5033 5118 5203 5288 5373 5458 5543 5628 5713 5798 5883 5968 6053 6138 6223 6308 6310 6395 6480 6565 6650 6735 6820 16 101 186 271 356 441 526 611 696 781 866 951 1036 1121 1206 1291 1376 1461 1546 1631 1716 1801 1886 1971 2056 2141 2226
2395 2480 2565 2650 2735 2820 2905 2907 2992 3077 3162 3247 3332 3417 3502 3587 3672 3757 3842 3927 4012 4097 4182 4267 4352 4437 4522 4607 4692 4777 4862 4947 5032 5117 5202 5287 5372 5457 5542 5627 5712 5797 5882 5967 6052 6137 6222 6307 6309 6394 6479 6564 6649 6734 6819 15 100 185 270 355 440 525 610 695 780 865 950 1035 1120 1205 1290 1375 1460 1545 1630 1715 1800 1885 1970 2055 2140 2225 2310
2479 2564 2649 2734 2819 2904 2906 2991 3076 3161 3246 3331 3416 3501 3586 3671 3756 3841 3926 4011 4096 4181 4266 4351 4436 4521 4606 4691 4776 4861 4946 5031 5116 5201 5286 5371 5456 5541 5626 5711 5796 5881 5966 6051 6136 6221 6306 6391 6393 6478 6563 6648 6733 6818 14 99 184 269 354 439 524 609 694 779 864 949 1034 1119 1204 1289 1374 1459 1544 1629 1714 1799 1884 1969 2054 2139 2224 2309 2394
2563 2648 2733 2818 2903 2988 2990 3075 3160 3245 3330 3415 3500 3585 3670 3755 3840 3925 4010 4095 4180 4265 4350 4435 4520 4605 4690 4775 4860 4945 5030 5115 5200 5285 5370 5455 5540 5625 5710 5795 5880 5965 6050 6135 6220 6305 6390 6392 6477 6562 6647 6732 6817 13 98 183 268 353 438 523 608 693 778 863 948 1033 1118 1203 1288 1373 1458 1543 1628 1713 1798 1883 1968 2053 2138 2223 2308 2393 2478
2647 2732 2817 2902 2987 2989 3074 3159 3244 3329 3414 3499 3584 3669 3754 3839 3924 4009 4094 4179 4264 4349 4434 4519 4604 4689 4774 4859 4944 5029 5114 5199 5284 5369 5454 5539 5624 5709 5794 5879 5964 6049 6134 6219 6304 6389 6474 6476 6561 6646 6731 6816 12 97 182 267 352 437 522 607 692 777 862 947 1032 1117 1202 1287 1372 1457 1542 1627 1712 1797 1882 1967 2052 2137 2222 2307 2392 2477 2562
2731 2816 2901 2986 3071 3073 3158 3243 3328 3413 3498 3583 3668 3753 3838 3923 4008 4093 4178 4263 4348 4433 4518 4603 4688 4773 4858 4943 5028 5113 5198 5283 5368 5453 5538 5623 5708 5793 5878 5963 6048 6133 6218 6303 6388 6473 6475 6560 6645 6730 6815 11 96 181 266 351 436 521 606 691 776 861 946 1031 1116 1201 1286 1371 1456 1541 1626 1711 1796 1881 1966 2051 2136 2221 2306 2391 2476 2561 2646
2815 2900 2985 3070 3072 3157 3242 3327 3412 3497 3582 3667 3752 3837 3922 4007 4092 4177 4262 4347 4432 4517 4602 4687 4772 4857 4942 5027 5112 5197 5282 5367 5452 5537 5622 5707 5792 5877 5962 6047 6132 6217 6302 6387 6472 6557 6559 6644 6729 6814 10 95 180 265 350 435 520 605 690 775 860 945 1030 1115 1200 1285 1370 1455 1540 1625 1710 1795 1880 1965 2050 2135 2220 2305 2390 2475 2560 2645 2730
2899 2984 3069 3154 3156 3241 3326 3411 3496 3581 3666 3751 3836 3921 4006 4091 4176 4261 4346 4431 4516 4601 4686 4771 4856 4941 5026 5111 5196 5281 5366 5451 5536 5621 5706 5791 5876 5961 6046 6131 6216 6301 6386 6471 6556 6558 6643 6728 6813 9 94 179 264 349 434 519 604 689 774 859 944 1029 1114 1199 1284 1369 1454 1539 1624 1709 1794 1879 1964 2049 2134 2219 2304 2389 2474 2559 2644 2729 2814
2983 3068 3153 3155 3240 3325 3410 3495 3580 3665 3750 3835 3920 4005 4090 4175 4260 4345 4430 4515 4600 4685 4770 4855 4940 5025 5110 5195 5280 5365 5450 5535 5620 5705 5790 5875 5960 6045 6130 6215 6300 6385 6470 6555 6640 6642 6727 6812 8 93 178 263 348 433 518 603 688 773 858 943 1028 1113 1198 1283 1368 1453 1538 1623 1708 1793 1878 1963 2048 2133 2218 2303 2388 2473 2558 2643 2728 2813 2898
3067 3152 3237 3239 3324 3409 3494 3579 3664 3749 3834 3919 4004 4089 4174 4259 4344 4429 4514 4599 4684 4769 4854 4939 5024 5109 5194 5279 5364 5449 5534 5619 5704 5789 5874 5959 6044 6129 6214 6299 6384 6469 6554 6639 6641 6726 6811 7 92 177 262 347 432 517 602 687 772 857 942 1027 1112 1197 1282 1367 1452 1537 1622 1707 1792 1877 1962 2047 2132 2217 2302 2387 2472 2557 2642 2727 2812 2897 2982
3151 3236 3238 3323 3408 3493 3578 3663 3748 3833 3918 4003 4088 4173 4258 4343 4428 4513 4598 4683 4768 4853 4938 5023 5108 5193 5278 5363 5448 5533 5618 5703 5788 5873 5958 6043 6128 6213 6298 6383 6468 6553 6638 6723 6725 6810 6 91 176 261 346 431 516 601 686 771 856 941 1026 1111 1196 1281 1366 1451 1536 1621 1706 1791 1876 1961 2046 2131 2216 2301 2386 2471 2556 2641 2726 2811 2896 2981 3066
3235 3320 3322 3407 3492 3577 3662 3747 3832 3917 4002 4087 4172 4257 4342 4427 4512 4597 4682 4767 4852 4937 5022 5107 5192 5277 5362 5447 5532 5617 5702 5787 5872 5957 6042 6127 6212 6297 6382 6467 6552 6637 6722 6724 6809 5 90 175 260 345 430 515 600 685 770 855 940 1025 1110 1195 1280 1365 1450 1535 1620 1705 1790 1875 1960 2045 2130 2215 2300 2385 2470 2555 2640 2725 2810 2895 2980 3065 3150
3319 3321 3406 3491 3576 3661 3746 3831 3916 4001 4086 4171 4256 4341 4426 4511 4596 4681 4766 4851 4936 5021 5106 5191 5276 5361 5446 5531 5616 5701 5786 5871 5956 6041 6126 6211 6296 6381 6466 6551 6636 6721 6806 6808 4 89 174 259 344 429 514 599 684 769 854 939 1024 1109 1194 1279 1364 1449 1534 1619 1704 1789 1874 1959 2044 2129 2214 2299 2384 2469 2554 2639 2724 2809 2894 2979 3064 3149 3234
3403 3405 3490 3575 3660 3745 3830 3915 4000 4085 4170 4255 4340 4425 4510 4595 4680 4765 4850 4935 5020 5105 5190 5275 5360 5445 5530 5615 5700 5785 5870 5955 6040 6125 6210 6295 6380 6465 6550 6635 6720 6805 6807 3 88 173 258 343 428 513 598 683 768 853 938 1023 1108 1193 1278 1363 1448 1533 1618 1703 1788 1873 1958 2043 2128 2213 2298 2383 2468 2553 2638 2723 2808 2893 2978 3063 3148 3233 3318
3404 3489 3574 3659 3744 3829 3914 3999 4084 4169 4254 4339 4424 4509 4594 4679 4764 4849 4934 5019 5104 5189 5274 5359 5444 5529 5614 5699 5784 5869 5954 6039 6124 6209 6294 6379 6464 6549 6634 6719 6804 6889 2 87 172 257 342 427 512 597 682 767 852 937 1022 1107 1192 1277 1362 1447 1532 1617 1702 1787 1872 1957 2042 2127 2212 2297 2382 2467 2552 2637 2722 2807 2892 2977 3062 3147 3232 3317 3402


Please
Support Our Site



buy
Amazing Math Whiz
products from
our online store



Many other
Amazing Messages
are available

Please visit
www.MAZES.com/cp/
for details

How to Make Your Own Odd-Size Magic Square

  1. Draw a square with any odd number of rows and columns.
  2. Put your first number in the MIDDLE square of the TOP row.
  3. Move UP and to the RIGHT to find the position for your next number, but ...
    • if the next "position" is ABOVE a column, go to BOTTOM of that column (you can see a sample of this movement by looking at how we moved from 1 to 2 in the square above).
    • if the next "position" is to the RIGHT of a row, go to LEFT of that row (you can see this movement between (42) and (43) above).
    • if the next cell is already filled in, drop down to the cell below the number you just filled in for the next number (you can see this when you look at how we moved from 83 to the next number above).
    • if the next cell is both ABOVE and to the RIGHT of the entire square, drop down to the cell below the number you just filled in for your next number (you can see this if you look at (3486) and the next number).
  4. Print your NEXT number into the new square you just moved to.
  5. Repeat steps 3-4 until the entire square is full.
  6. You can see how it works by printing this page and drawing arrows to see how it worked when I created this magic square
This Magic Square was created by John Knoderer, a webmaster and computer programmer who is available to telecommute to your location.

If you found this page useful, and especially if you printed this page to distribute to students, we invite you to send a suitable donation to John (address below) or PayPal your donation to Donations (at) Mazes.com.

You can find more of John's puzzling materials at www.MAZES.com and at www.GodLovesEveryone.org. You can reach John at Webmaster (at) Mazes.com.

Fine Print: If you print and duplicate these magic squares for classroom use or other multiple copy use, please send a payment of $(however much you think this is worth) to the author. John puts a GREAT DEAL of time into creating and posting materials to the internet for you to use (and enjoy). Your donations will help pay bills and keep new materials coming your way.

Send your donations to:

John Knoderer
www.MAZES.com
P O Box 235
Sulphur Springs, AR 72768 USA

www.MAZES.com
www.GodLovesEveryone.org
www.DriverExam.org

E-mail the webmaster: webmaster (at) mazes.com

The contents of this page are copyright 2005 by the author. However, we recognize that teachers may wish to download and use our materials with their students. We give that permission, as long as the teacher sends what they believe to be a fair donation to the author each time the material is used.

 We also have other
Amazing Message
stores.

Click each image to see
many amazing choices


Amazing Teacher


Amazing Student


Amazing Student


Amazing Reader


Amazing Artist