Books about
Magic Squares
at Amazon.Canada


Amazing Math Whiz
products available:

Buttons, Magnets,
t-shirts, Tote bags,
Teddy bears, & more

Books about Magic Squares at Amazon.com

Be sure to visit the
Magic Squares Main Menu
for other topics including Irregular Squares, Algebraic Squares and more.

Other Magic Square Sizes: 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 *
21 * 23 * 25 * 27 * 29 * 31 * 33 * 35 * 37 * 39 * 41 * 43 * 45 * 47 * 49 * 51 * 53 * 55 * 57 * 59 *
61 * 63 * 65 * 67 * 69 * 71 * 73 * 75 * 77 * 79 * 81 * 83 * 85 * 87 * 89 * 91 * 93 * 95 * 97 * 99 *

A 87x87 Magic Square

Scroll down to see a magic square
in which all rows, columns, and both diagonals
add up to the same magic sum (329295)

A Magic Square is a square of numbers in which every row, every column, and both diagonals add up to the same number. This number is often called the magic sum. The 87 by 87 magic square shown below has a magic sum equal to 329295.

Though magic squares can be made with non-consecutive and non-regular sequences, they are usually seen made up of consecutive numbers. To the best of my knowledge, the middle number in the sequence must be in the center square, and the magic sum will be equal to this middle number times the number of rows in the square. (In the case of 3x3 squares, I have proved that the middle number MUST be equal to one-third of the sum. See proof here.)

All odd-size Magic Squares can be made with the method shown below, which can be summarized as "start in the middle of the top and keep moving up and to the right except when you get blocked, in which case drop down and continue." The more detailed directions about creating these squares can be found further below. There are other methods for creating magic squares, but this is the easiest to learn. (There are basically only two methods of creating a 3x3 square but the larger squares have a large number of irregular variants, and probably other regular methods.)

Read more about Magic Squares

If you'd like to read more about magic squares, click one of these links to look for books about Magic Squares at Amazon.com, at Amazon.canada, and at Amazon.co.UK.

A 87-by-87 Magic Square

(Magic Sum = 329295)

Books about
Magic Squares
at Amazon.co.UK


Support Our Site
by purchasing our
Amazing Math Whiz
products

and other
Amazing Messages

3830 3919 4008 4097 4186 4275 4364 4453 4542 4631 4720 4809 4898 4987 5076 5165 5254 5343 5432 5521 5610 5699 5788 5877 5966 6055 6144 6233 6322 6411 6500 6589 6678 6767 6856 6945 7034 7123 7212 7301 7390 7479 7568 1 90 179 268 357 446 535 624 713 802 891 980 1069 1158 1247 1336 1425 1514 1603 1692 1781 1870 1959 2048 2137 2226 2315 2404 2493 2582 2671 2760 2849 2938 3027 3116 3205 3294 3383 3472 3561 3650 3739 3828
3918 4007 4096 4185 4274 4363 4452 4541 4630 4719 4808 4897 4986 5075 5164 5253 5342 5431 5520 5609 5698 5787 5876 5965 6054 6143 6232 6321 6410 6499 6588 6677 6766 6855 6944 7033 7122 7211 7300 7389 7478 7567 87 89 178 267 356 445 534 623 712 801 890 979 1068 1157 1246 1335 1424 1513 1602 1691 1780 1869 1958 2047 2136 2225 2314 2403 2492 2581 2670 2759 2848 2937 3026 3115 3204 3293 3382 3471 3560 3649 3738 3827 3829
4006 4095 4184 4273 4362 4451 4540 4629 4718 4807 4896 4985 5074 5163 5252 5341 5430 5519 5608 5697 5786 5875 5964 6053 6142 6231 6320 6409 6498 6587 6676 6765 6854 6943 7032 7121 7210 7299 7388 7477 7566 86 88 177 266 355 444 533 622 711 800 889 978 1067 1156 1245 1334 1423 1512 1601 1690 1779 1868 1957 2046 2135 2224 2313 2402 2491 2580 2669 2758 2847 2936 3025 3114 3203 3292 3381 3470 3559 3648 3737 3826 3915 3917
4094 4183 4272 4361 4450 4539 4628 4717 4806 4895 4984 5073 5162 5251 5340 5429 5518 5607 5696 5785 5874 5963 6052 6141 6230 6319 6408 6497 6586 6675 6764 6853 6942 7031 7120 7209 7298 7387 7476 7565 85 174 176 265 354 443 532 621 710 799 888 977 1066 1155 1244 1333 1422 1511 1600 1689 1778 1867 1956 2045 2134 2223 2312 2401 2490 2579 2668 2757 2846 2935 3024 3113 3202 3291 3380 3469 3558 3647 3736 3825 3914 3916 4005
4182 4271 4360 4449 4538 4627 4716 4805 4894 4983 5072 5161 5250 5339 5428 5517 5606 5695 5784 5873 5962 6051 6140 6229 6318 6407 6496 6585 6674 6763 6852 6941 7030 7119 7208 7297 7386 7475 7564 84 173 175 264 353 442 531 620 709 798 887 976 1065 1154 1243 1332 1421 1510 1599 1688 1777 1866 1955 2044 2133 2222 2311 2400 2489 2578 2667 2756 2845 2934 3023 3112 3201 3290 3379 3468 3557 3646 3735 3824 3913 4002 4004 4093
4270 4359 4448 4537 4626 4715 4804 4893 4982 5071 5160 5249 5338 5427 5516 5605 5694 5783 5872 5961 6050 6139 6228 6317 6406 6495 6584 6673 6762 6851 6940 7029 7118 7207 7296 7385 7474 7563 83 172 261 263 352 441 530 619 708 797 886 975 1064 1153 1242 1331 1420 1509 1598 1687 1776 1865 1954 2043 2132 2221 2310 2399 2488 2577 2666 2755 2844 2933 3022 3111 3200 3289 3378 3467 3556 3645 3734 3823 3912 4001 4003 4092 4181
4358 4447 4536 4625 4714 4803 4892 4981 5070 5159 5248 5337 5426 5515 5604 5693 5782 5871 5960 6049 6138 6227 6316 6405 6494 6583 6672 6761 6850 6939 7028 7117 7206 7295 7384 7473 7562 82 171 260 262 351 440 529 618 707 796 885 974 1063 1152 1241 1330 1419 1508 1597 1686 1775 1864 1953 2042 2131 2220 2309 2398 2487 2576 2665 2754 2843 2932 3021 3110 3199 3288 3377 3466 3555 3644 3733 3822 3911 4000 4089 4091 4180 4269
4446 4535 4624 4713 4802 4891 4980 5069 5158 5247 5336 5425 5514 5603 5692 5781 5870 5959 6048 6137 6226 6315 6404 6493 6582 6671 6760 6849 6938 7027 7116 7205 7294 7383 7472 7561 81 170 259 348 350 439 528 617 706 795 884 973 1062 1151 1240 1329 1418 1507 1596 1685 1774 1863 1952 2041 2130 2219 2308 2397 2486 2575 2664 2753 2842 2931 3020 3109 3198 3287 3376 3465 3554 3643 3732 3821 3910 3999 4088 4090 4179 4268 4357
4534 4623 4712 4801 4890 4979 5068 5157 5246 5335 5424 5513 5602 5691 5780 5869 5958 6047 6136 6225 6314 6403 6492 6581 6670 6759 6848 6937 7026 7115 7204 7293 7382 7471 7560 80 169 258 347 349 438 527 616 705 794 883 972 1061 1150 1239 1328 1417 1506 1595 1684 1773 1862 1951 2040 2129 2218 2307 2396 2485 2574 2663 2752 2841 2930 3019 3108 3197 3286 3375 3464 3553 3642 3731 3820 3909 3998 4087 4176 4178 4267 4356 4445
4622 4711 4800 4889 4978 5067 5156 5245 5334 5423 5512 5601 5690 5779 5868 5957 6046 6135 6224 6313 6402 6491 6580 6669 6758 6847 6936 7025 7114 7203 7292 7381 7470 7559 79 168 257 346 435 437 526 615 704 793 882 971 1060 1149 1238 1327 1416 1505 1594 1683 1772 1861 1950 2039 2128 2217 2306 2395 2484 2573 2662 2751 2840 2929 3018 3107 3196 3285 3374 3463 3552 3641 3730 3819 3908 3997 4086 4175 4177 4266 4355 4444 4533
4710 4799 4888 4977 5066 5155 5244 5333 5422 5511 5600 5689 5778 5867 5956 6045 6134 6223 6312 6401 6490 6579 6668 6757 6846 6935 7024 7113 7202 7291 7380 7469 7558 78 167 256 345 434 436 525 614 703 792 881 970 1059 1148 1237 1326 1415 1504 1593 1682 1771 1860 1949 2038 2127 2216 2305 2394 2483 2572 2661 2750 2839 2928 3017 3106 3195 3284 3373 3462 3551 3640 3729 3818 3907 3996 4085 4174 4263 4265 4354 4443 4532 4621
4798 4887 4976 5065 5154 5243 5332 5421 5510 5599 5688 5777 5866 5955 6044 6133 6222 6311 6400 6489 6578 6667 6756 6845 6934 7023 7112 7201 7290 7379 7468 7557 77 166 255 344 433 522 524 613 702 791 880 969 1058 1147 1236 1325 1414 1503 1592 1681 1770 1859 1948 2037 2126 2215 2304 2393 2482 2571 2660 2749 2838 2927 3016 3105 3194 3283 3372 3461 3550 3639 3728 3817 3906 3995 4084 4173 4262 4264 4353 4442 4531 4620 4709
4886 4975 5064 5153 5242 5331 5420 5509 5598 5687 5776 5865 5954 6043 6132 6221 6310 6399 6488 6577 6666 6755 6844 6933 7022 7111 7200 7289 7378 7467 7556 76 165 254 343 432 521 523 612 701 790 879 968 1057 1146 1235 1324 1413 1502 1591 1680 1769 1858 1947 2036 2125 2214 2303 2392 2481 2570 2659 2748 2837 2926 3015 3104 3193 3282 3371 3460 3549 3638 3727 3816 3905 3994 4083 4172 4261 4350 4352 4441 4530 4619 4708 4797
4974 5063 5152 5241 5330 5419 5508 5597 5686 5775 5864 5953 6042 6131 6220 6309 6398 6487 6576 6665 6754 6843 6932 7021 7110 7199 7288 7377 7466 7555 75 164 253 342 431 520 609 611 700 789 878 967 1056 1145 1234 1323 1412 1501 1590 1679 1768 1857 1946 2035 2124 2213 2302 2391 2480 2569 2658 2747 2836 2925 3014 3103 3192 3281 3370 3459 3548 3637 3726 3815 3904 3993 4082 4171 4260 4349 4351 4440 4529 4618 4707 4796 4885
5062 5151 5240 5329 5418 5507 5596 5685 5774 5863 5952 6041 6130 6219 6308 6397 6486 6575 6664 6753 6842 6931 7020 7109 7198 7287 7376 7465 7554 74 163 252 341 430 519 608 610 699 788 877 966 1055 1144 1233 1322 1411 1500 1589 1678 1767 1856 1945 2034 2123 2212 2301 2390 2479 2568 2657 2746 2835 2924 3013 3102 3191 3280 3369 3458 3547 3636 3725 3814 3903 3992 4081 4170 4259 4348 4437 4439 4528 4617 4706 4795 4884 4973
5150 5239 5328 5417 5506 5595 5684 5773 5862 5951 6040 6129 6218 6307 6396 6485 6574 6663 6752 6841 6930 7019 7108 7197 7286 7375 7464 7553 73 162 251 340 429 518 607 696 698 787 876 965 1054 1143 1232 1321 1410 1499 1588 1677 1766 1855 1944 2033 2122 2211 2300 2389 2478 2567 2656 2745 2834 2923 3012 3101 3190 3279 3368 3457 3546 3635 3724 3813 3902 3991 4080 4169 4258 4347 4436 4438 4527 4616 4705 4794 4883 4972 5061
5238 5327 5416 5505 5594 5683 5772 5861 5950 6039 6128 6217 6306 6395 6484 6573 6662 6751 6840 6929 7018 7107 7196 7285 7374 7463 7552 72 161 250 339 428 517 606 695 697 786 875 964 1053 1142 1231 1320 1409 1498 1587 1676 1765 1854 1943 2032 2121 2210 2299 2388 2477 2566 2655 2744 2833 2922 3011 3100 3189 3278 3367 3456 3545 3634 3723 3812 3901 3990 4079 4168 4257 4346 4435 4524 4526 4615 4704 4793 4882 4971 5060 5149
5326 5415 5504 5593 5682 5771 5860 5949 6038 6127 6216 6305 6394 6483 6572 6661 6750 6839 6928 7017 7106 7195 7284 7373 7462 7551 71 160 249 338 427 516 605 694 783 785 874 963 1052 1141 1230 1319 1408 1497 1586 1675 1764 1853 1942 2031 2120 2209 2298 2387 2476 2565 2654 2743 2832 2921 3010 3099 3188 3277 3366 3455 3544 3633 3722 3811 3900 3989 4078 4167 4256 4345 4434 4523 4525 4614 4703 4792 4881 4970 5059 5148 5237
5414 5503 5592 5681 5770 5859 5948 6037 6126 6215 6304 6393 6482 6571 6660 6749 6838 6927 7016 7105 7194 7283 7372 7461 7550 70 159 248 337 426 515 604 693 782 784 873 962 1051 1140 1229 1318 1407 1496 1585 1674 1763 1852 1941 2030 2119 2208 2297 2386 2475 2564 2653 2742 2831 2920 3009 3098 3187 3276 3365 3454 3543 3632 3721 3810 3899 3988 4077 4166 4255 4344 4433 4522 4611 4613 4702 4791 4880 4969 5058 5147 5236 5325
5502 5591 5680 5769 5858 5947 6036 6125 6214 6303 6392 6481 6570 6659 6748 6837 6926 7015 7104 7193 7282 7371 7460 7549 69 158 247 336 425 514 603 692 781 870 872 961 1050 1139 1228 1317 1406 1495 1584 1673 1762 1851 1940 2029 2118 2207 2296 2385 2474 2563 2652 2741 2830 2919 3008 3097 3186 3275 3364 3453 3542 3631 3720 3809 3898 3987 4076 4165 4254 4343 4432 4521 4610 4612 4701 4790 4879 4968 5057 5146 5235 5324 5413
5590 5679 5768 5857 5946 6035 6124 6213 6302 6391 6480 6569 6658 6747 6836 6925 7014 7103 7192 7281 7370 7459 7548 68 157 246 335 424 513 602 691 780 869 871 960 1049 1138 1227 1316 1405 1494 1583 1672 1761 1850 1939 2028 2117 2206 2295 2384 2473 2562 2651 2740 2829 2918 3007 3096 3185 3274 3363 3452 3541 3630 3719 3808 3897 3986 4075 4164 4253 4342 4431 4520 4609 4698 4700 4789 4878 4967 5056 5145 5234 5323 5412 5501
5678 5767 5856 5945 6034 6123 6212 6301 6390 6479 6568 6657 6746 6835 6924 7013 7102 7191 7280 7369 7458 7547 67 156 245 334 423 512 601 690 779 868 957 959 1048 1137 1226 1315 1404 1493 1582 1671 1760 1849 1938 2027 2116 2205 2294 2383 2472 2561 2650 2739 2828 2917 3006 3095 3184 3273 3362 3451 3540 3629 3718 3807 3896 3985 4074 4163 4252 4341 4430 4519 4608 4697 4699 4788 4877 4966 5055 5144 5233 5322 5411 5500 5589
5766 5855 5944 6033 6122 6211 6300 6389 6478 6567 6656 6745 6834 6923 7012 7101 7190 7279 7368 7457 7546 66 155 244 333 422 511 600 689 778 867 956 958 1047 1136 1225 1314 1403 1492 1581 1670 1759 1848 1937 2026 2115 2204 2293 2382 2471 2560 2649 2738 2827 2916 3005 3094 3183 3272 3361 3450 3539 3628 3717 3806 3895 3984 4073 4162 4251 4340 4429 4518 4607 4696 4785 4787 4876 4965 5054 5143 5232 5321 5410 5499 5588 5677
5854 5943 6032 6121 6210 6299 6388 6477 6566 6655 6744 6833 6922 7011 7100 7189 7278 7367 7456 7545 65 154 243 332 421 510 599 688 777 866 955 1044 1046 1135 1224 1313 1402 1491 1580 1669 1758 1847 1936 2025 2114 2203 2292 2381 2470 2559 2648 2737 2826 2915 3004 3093 3182 3271 3360 3449 3538 3627 3716 3805 3894 3983 4072 4161 4250 4339 4428 4517 4606 4695 4784 4786 4875 4964 5053 5142 5231 5320 5409 5498 5587 5676 5765
5942 6031 6120 6209 6298 6387 6476 6565 6654 6743 6832 6921 7010 7099 7188 7277 7366 7455 7544 64 153 242 331 420 509 598 687 776 865 954 1043 1045 1134 1223 1312 1401 1490 1579 1668 1757 1846 1935 2024 2113 2202 2291 2380 2469 2558 2647 2736 2825 2914 3003 3092 3181 3270 3359 3448 3537 3626 3715 3804 3893 3982 4071 4160 4249 4338 4427 4516 4605 4694 4783 4872 4874 4963 5052 5141 5230 5319 5408 5497 5586 5675 5764 5853
6030 6119 6208 6297 6386 6475 6564 6653 6742 6831 6920 7009 7098 7187 7276 7365 7454 7543 63 152 241 330 419 508 597 686 775 864 953 1042 1131 1133 1222 1311 1400 1489 1578 1667 1756 1845 1934 2023 2112 2201 2290 2379 2468 2557 2646 2735 2824 2913 3002 3091 3180 3269 3358 3447 3536 3625 3714 3803 3892 3981 4070 4159 4248 4337 4426 4515 4604 4693 4782 4871 4873 4962 5051 5140 5229 5318 5407 5496 5585 5674 5763 5852 5941
6118 6207 6296 6385 6474 6563 6652 6741 6830 6919 7008 7097 7186 7275 7364 7453 7542 62 151 240 329 418 507 596 685 774 863 952 1041 1130 1132 1221 1310 1399 1488 1577 1666 1755 1844 1933 2022 2111 2200 2289 2378 2467 2556 2645 2734 2823 2912 3001 3090 3179 3268 3357 3446 3535 3624 3713 3802 3891 3980 4069 4158 4247 4336 4425 4514 4603 4692 4781 4870 4959 4961 5050 5139 5228 5317 5406 5495 5584 5673 5762 5851 5940 6029
6206 6295 6384 6473 6562 6651 6740 6829 6918 7007 7096 7185 7274 7363 7452 7541 61 150 239 328 417 506 595 684 773 862 951 1040 1129 1218 1220 1309 1398 1487 1576 1665 1754 1843 1932 2021 2110 2199 2288 2377 2466 2555 2644 2733 2822 2911 3000 3089 3178 3267 3356 3445 3534 3623 3712 3801 3890 3979 4068 4157 4246 4335 4424 4513 4602 4691 4780 4869 4958 4960 5049 5138 5227 5316 5405 5494 5583 5672 5761 5850 5939 6028 6117
6294 6383 6472 6561 6650 6739 6828 6917 7006 7095 7184 7273 7362 7451 7540 60 149 238 327 416 505 594 683 772 861 950 1039 1128 1217 1219 1308 1397 1486 1575 1664 1753 1842 1931 2020 2109 2198 2287 2376 2465 2554 2643 2732 2821 2910 2999 3088 3177 3266 3355 3444 3533 3622 3711 3800 3889 3978 4067 4156 4245 4334 4423 4512 4601 4690 4779 4868 4957 5046 5048 5137 5226 5315 5404 5493 5582 5671 5760 5849 5938 6027 6116 6205
6382 6471 6560 6649 6738 6827 6916 7005 7094 7183 7272 7361 7450 7539 59 148 237 326 415 504 593 682 771 860 949 1038 1127 1216 1305 1307 1396 1485 1574 1663 1752 1841 1930 2019 2108 2197 2286 2375 2464 2553 2642 2731 2820 2909 2998 3087 3176 3265 3354 3443 3532 3621 3710 3799 3888 3977 4066 4155 4244 4333 4422 4511 4600 4689 4778 4867 4956 5045 5047 5136 5225 5314 5403 5492 5581 5670 5759 5848 5937 6026 6115 6204 6293
6470 6559 6648 6737 6826 6915 7004 7093 7182 7271 7360 7449 7538 58 147 236 325 414 503 592 681 770 859 948 1037 1126 1215 1304 1306 1395 1484 1573 1662 1751 1840 1929 2018 2107 2196 2285 2374 2463 2552 2641 2730 2819 2908 2997 3086 3175 3264 3353 3442 3531 3620 3709 3798 3887 3976 4065 4154 4243 4332 4421 4510 4599 4688 4777 4866 4955 5044 5133 5135 5224 5313 5402 5491 5580 5669 5758 5847 5936 6025 6114 6203 6292 6381
6558 6647 6736 6825 6914 7003 7092 7181 7270 7359 7448 7537 57 146 235 324 413 502 591 680 769 858 947 1036 1125 1214 1303 1392 1394 1483 1572 1661 1750 1839 1928 2017 2106 2195 2284 2373 2462 2551 2640 2729 2818 2907 2996 3085 3174 3263 3352 3441 3530 3619 3708 3797 3886 3975 4064 4153 4242 4331 4420 4509 4598 4687 4776 4865 4954 5043 5132 5134 5223 5312 5401 5490 5579 5668 5757 5846 5935 6024 6113 6202 6291 6380 6469
6646 6735 6824 6913 7002 7091 7180 7269 7358 7447 7536 56 145 234 323 412 501 590 679 768 857 946 1035 1124 1213 1302 1391 1393 1482 1571 1660 1749 1838 1927 2016 2105 2194 2283 2372 2461 2550 2639 2728 2817 2906 2995 3084 3173 3262 3351 3440 3529 3618 3707 3796 3885 3974 4063 4152 4241 4330 4419 4508 4597 4686 4775 4864 4953 5042 5131 5220 5222 5311 5400 5489 5578 5667 5756 5845 5934 6023 6112 6201 6290 6379 6468 6557
6734 6823 6912 7001 7090 7179 7268 7357 7446 7535 55 144 233 322 411 500 589 678 767 856 945 1034 1123 1212 1301 1390 1479 1481 1570 1659 1748 1837 1926 2015 2104 2193 2282 2371 2460 2549 2638 2727 2816 2905 2994 3083 3172 3261 3350 3439 3528 3617 3706 3795 3884 3973 4062 4151 4240 4329 4418 4507 4596 4685 4774 4863 4952 5041 5130 5219 5221 5310 5399 5488 5577 5666 5755 5844 5933 6022 6111 6200 6289 6378 6467 6556 6645
6822 6911 7000 7089 7178 7267 7356 7445 7534 54 143 232 321 410 499 588 677 766 855 944 1033 1122 1211 1300 1389 1478 1480 1569 1658 1747 1836 1925 2014 2103 2192 2281 2370 2459 2548 2637 2726 2815 2904 2993 3082 3171 3260 3349 3438 3527 3616 3705 3794 3883 3972 4061 4150 4239 4328 4417 4506 4595 4684 4773 4862 4951 5040 5129 5218 5307 5309 5398 5487 5576 5665 5754 5843 5932 6021 6110 6199 6288 6377 6466 6555 6644 6733
6910 6999 7088 7177 7266 7355 7444 7533 53 142 231 320 409 498 587 676 765 854 943 1032 1121 1210 1299 1388 1477 1566 1568 1657 1746 1835 1924 2013 2102 2191 2280 2369 2458 2547 2636 2725 2814 2903 2992 3081 3170 3259 3348 3437 3526 3615 3704 3793 3882 3971 4060 4149 4238 4327 4416 4505 4594 4683 4772 4861 4950 5039 5128 5217 5306 5308 5397 5486 5575 5664 5753 5842 5931 6020 6109 6198 6287 6376 6465 6554 6643 6732 6821
6998 7087 7176 7265 7354 7443 7532 52 141 230 319 408 497 586 675 764 853 942 1031 1120 1209 1298 1387 1476 1565 1567 1656 1745 1834 1923 2012 2101 2190 2279 2368 2457 2546 2635 2724 2813 2902 2991 3080 3169 3258 3347 3436 3525 3614 3703 3792 3881 3970 4059 4148 4237 4326 4415 4504 4593 4682 4771 4860 4949 5038 5127 5216 5305 5394 5396 5485 5574 5663 5752 5841 5930 6019 6108 6197 6286 6375 6464 6553 6642 6731 6820 6909
7086 7175 7264 7353 7442 7531 51 140 229 318 407 496 585 674 763 852 941 1030 1119 1208 1297 1386 1475 1564 1653 1655 1744 1833 1922 2011 2100 2189 2278 2367 2456 2545 2634 2723 2812 2901 2990 3079 3168 3257 3346 3435 3524 3613 3702 3791 3880 3969 4058 4147 4236 4325 4414 4503 4592 4681 4770 4859 4948 5037 5126 5215 5304 5393 5395 5484 5573 5662 5751 5840 5929 6018 6107 6196 6285 6374 6463 6552 6641 6730 6819 6908 6997
7174 7263 7352 7441 7530 50 139 228 317 406 495 584 673 762 851 940 1029 1118 1207 1296 1385 1474 1563 1652 1654 1743 1832 1921 2010 2099 2188 2277 2366 2455 2544 2633 2722 2811 2900 2989 3078 3167 3256 3345 3434 3523 3612 3701 3790 3879 3968 4057 4146 4235 4324 4413 4502 4591 4680 4769 4858 4947 5036 5125 5214 5303 5392 5481 5483 5572 5661 5750 5839 5928 6017 6106 6195 6284 6373 6462 6551 6640 6729 6818 6907 6996 7085
7262 7351 7440 7529 49 138 227 316 405 494 583 672 761 850 939 1028 1117 1206 1295 1384 1473 1562 1651 1740 1742 1831 1920 2009 2098 2187 2276 2365 2454 2543 2632 2721 2810 2899 2988 3077 3166 3255 3344 3433 3522 3611 3700 3789 3878 3967 4056 4145 4234 4323 4412 4501 4590 4679 4768 4857 4946 5035 5124 5213 5302 5391 5480 5482 5571 5660 5749 5838 5927 6016 6105 6194 6283 6372 6461 6550 6639 6728 6817 6906 6995 7084 7173
7350 7439 7528 48 137 226 315 404 493 582 671 760 849 938 1027 1116 1205 1294 1383 1472 1561 1650 1739 1741 1830 1919 2008 2097 2186 2275 2364 2453 2542 2631 2720 2809 2898 2987 3076 3165 3254 3343 3432 3521 3610 3699 3788 3877 3966 4055 4144 4233 4322 4411 4500 4589 4678 4767 4856 4945 5034 5123 5212 5301 5390 5479 5568 5570 5659 5748 5837 5926 6015 6104 6193 6282 6371 6460 6549 6638 6727 6816 6905 6994 7083 7172 7261
7438 7527 47 136 225 314 403 492 581 670 759 848 937 1026 1115 1204 1293 1382 1471 1560 1649 1738 1827 1829 1918 2007 2096 2185 2274 2363 2452 2541 2630 2719 2808 2897 2986 3075 3164 3253 3342 3431 3520 3609 3698 3787 3876 3965 4054 4143 4232 4321 4410 4499 4588 4677 4766 4855 4944 5033 5122 5211 5300 5389 5478 5567 5569 5658 5747 5836 5925 6014 6103 6192 6281 6370 6459 6548 6637 6726 6815 6904 6993 7082 7171 7260 7349
7526 46 135 224 313 402 491 580 669 758 847 936 1025 1114 1203 1292 1381 1470 1559 1648 1737 1826 1828 1917 2006 2095 2184 2273 2362 2451 2540 2629 2718 2807 2896 2985 3074 3163 3252 3341 3430 3519 3608 3697 3786 3875 3964 4053 4142 4231 4320 4409 4498 4587 4676 4765 4854 4943 5032 5121 5210 5299 5388 5477 5566 5655 5657 5746 5835 5924 6013 6102 6191 6280 6369 6458 6547 6636 6725 6814 6903 6992 7081 7170 7259 7348 7437
45 134 223 312 401 490 579 668 757 846 935 1024 1113 1202 1291 1380 1469 1558 1647 1736 1825 1914 1916 2005 2094 2183 2272 2361 2450 2539 2628 2717 2806 2895 2984 3073 3162 3251 3340 3429 3518 3607 3696 3785 3874 3963 4052 4141 4230 4319 4408 4497 4586 4675 4764 4853 4942 5031 5120 5209 5298 5387 5476 5565 5654 5656 5745 5834 5923 6012 6101 6190 6279 6368 6457 6546 6635 6724 6813 6902 6991 7080 7169 7258 7347 7436 7525
133 222 311 400 489 578 667 756 845 934 1023 1112 1201 1290 1379 1468 1557 1646 1735 1824 1913 1915 2004 2093 2182 2271 2360 2449 2538 2627 2716 2805 2894 2983 3072 3161 3250 3339 3428 3517 3606 3695 3784 3873 3962 4051 4140 4229 4318 4407 4496 4585 4674 4763 4852 4941 5030 5119 5208 5297 5386 5475 5564 5653 5742 5744 5833 5922 6011 6100 6189 6278 6367 6456 6545 6634 6723 6812 6901 6990 7079 7168 7257 7346 7435 7524 44
221 310 399 488 577 666 755 844 933 1022 1111 1200 1289 1378 1467 1556 1645 1734 1823 1912 2001 2003 2092 2181 2270 2359 2448 2537 2626 2715 2804 2893 2982 3071 3160 3249 3338 3427 3516 3605 3694 3783 3872 3961 4050 4139 4228 4317 4406 4495 4584 4673 4762 4851 4940 5029 5118 5207 5296 5385 5474 5563 5652 5741 5743 5832 5921 6010 6099 6188 6277 6366 6455 6544 6633 6722 6811 6900 6989 7078 7167 7256 7345 7434 7523 43 132
309 398 487 576 665 754 843 932 1021 1110 1199 1288 1377 1466 1555 1644 1733 1822 1911 2000 2002 2091 2180 2269 2358 2447 2536 2625 2714 2803 2892 2981 3070 3159 3248 3337 3426 3515 3604 3693 3782 3871 3960 4049 4138 4227 4316 4405 4494 4583 4672 4761 4850 4939 5028 5117 5206 5295 5384 5473 5562 5651 5740 5829 5831 5920 6009 6098 6187 6276 6365 6454 6543 6632 6721 6810 6899 6988 7077 7166 7255 7344 7433 7522 42 131 220
397 486 575 664 753 842 931 1020 1109 1198 1287 1376 1465 1554 1643 1732 1821 1910 1999 2088 2090 2179 2268 2357 2446 2535 2624 2713 2802 2891 2980 3069 3158 3247 3336 3425 3514 3603 3692 3781 3870 3959 4048 4137 4226 4315 4404 4493 4582 4671 4760 4849 4938 5027 5116 5205 5294 5383 5472 5561 5650 5739 5828 5830 5919 6008 6097 6186 6275 6364 6453 6542 6631 6720 6809 6898 6987 7076 7165 7254 7343 7432 7521 41 130 219 308
485 574 663 752 841 930 1019 1108 1197 1286 1375 1464 1553 1642 1731 1820 1909 1998 2087 2089 2178 2267 2356 2445 2534 2623 2712 2801 2890 2979 3068 3157 3246 3335 3424 3513 3602 3691 3780 3869 3958 4047 4136 4225 4314 4403 4492 4581 4670 4759 4848 4937 5026 5115 5204 5293 5382 5471 5560 5649 5738 5827 5916 5918 6007 6096 6185 6274 6363 6452 6541 6630 6719 6808 6897 6986 7075 7164 7253 7342 7431 7520 40 129 218 307 396
573 662 751 840 929 1018 1107 1196 1285 1374 1463 1552 1641 1730 1819 1908 1997 2086 2175 2177 2266 2355 2444 2533 2622 2711 2800 2889 2978 3067 3156 3245 3334 3423 3512 3601 3690 3779 3868 3957 4046 4135 4224 4313 4402 4491 4580 4669 4758 4847 4936 5025 5114 5203 5292 5381 5470 5559 5648 5737 5826 5915 5917 6006 6095 6184 6273 6362 6451 6540 6629 6718 6807 6896 6985 7074 7163 7252 7341 7430 7519 39 128 217 306 395 484
661 750 839 928 1017 1106 1195 1284 1373 1462 1551 1640 1729 1818 1907 1996 2085 2174 2176 2265 2354 2443 2532 2621 2710 2799 2888 2977 3066 3155 3244 3333 3422 3511 3600 3689 3778 3867 3956 4045 4134 4223 4312 4401 4490 4579 4668 4757 4846 4935 5024 5113 5202 5291 5380 5469 5558 5647 5736 5825 5914 6003 6005 6094 6183 6272 6361 6450 6539 6628 6717 6806 6895 6984 7073 7162 7251 7340 7429 7518 38 127 216 305 394 483 572
749 838 927 1016 1105 1194 1283 1372 1461 1550 1639 1728 1817 1906 1995 2084 2173 2262 2264 2353 2442 2531 2620 2709 2798 2887 2976 3065 3154 3243 3332 3421 3510 3599 3688 3777 3866 3955 4044 4133 4222 4311 4400 4489 4578 4667 4756 4845 4934 5023 5112 5201 5290 5379 5468 5557 5646 5735 5824 5913 6002 6004 6093 6182 6271 6360 6449 6538 6627 6716 6805 6894 6983 7072 7161 7250 7339 7428 7517 37 126 215 304 393 482 571 660
837 926 1015 1104 1193 1282 1371 1460 1549 1638 1727 1816 1905 1994 2083 2172 2261 2263 2352 2441 2530 2619 2708 2797 2886 2975 3064 3153 3242 3331 3420 3509 3598 3687 3776 3865 3954 4043 4132 4221 4310 4399 4488 4577 4666 4755 4844 4933 5022 5111 5200 5289 5378 5467 5556 5645 5734 5823 5912 6001 6090 6092 6181 6270 6359 6448 6537 6626 6715 6804 6893 6982 7071 7160 7249 7338 7427 7516 36 125 214 303 392 481 570 659 748
925 1014 1103 1192 1281 1370 1459 1548 1637 1726 1815 1904 1993 2082 2171 2260 2349 2351 2440 2529 2618 2707 2796 2885 2974 3063 3152 3241 3330 3419 3508 3597 3686 3775 3864 3953 4042 4131 4220 4309 4398 4487 4576 4665 4754 4843 4932 5021 5110 5199 5288 5377 5466 5555 5644 5733 5822 5911 6000 6089 6091 6180 6269 6358 6447 6536 6625 6714 6803 6892 6981 7070 7159 7248 7337 7426 7515 35 124 213 302 391 480 569 658 747 836
1013 1102 1191 1280 1369 1458 1547 1636 1725 1814 1903 1992 2081 2170 2259 2348 2350 2439 2528 2617 2706 2795 2884 2973 3062 3151 3240 3329 3418 3507 3596 3685 3774 3863 3952 4041 4130 4219 4308 4397 4486 4575 4664 4753 4842 4931 5020 5109 5198 5287 5376 5465 5554 5643 5732 5821 5910 5999 6088 6177 6179 6268 6357 6446 6535 6624 6713 6802 6891 6980 7069 7158 7247 7336 7425 7514 34 123 212 301 390 479 568 657 746 835 924
1101 1190 1279 1368 1457 1546 1635 1724 1813 1902 1991 2080 2169 2258 2347 2436 2438 2527 2616 2705 2794 2883 2972 3061 3150 3239 3328 3417 3506 3595 3684 3773 3862 3951 4040 4129 4218 4307 4396 4485 4574 4663 4752 4841 4930 5019 5108 5197 5286 5375 5464 5553 5642 5731 5820 5909 5998 6087 6176 6178 6267 6356 6445 6534 6623 6712 6801 6890 6979 7068 7157 7246 7335 7424 7513 33 122 211 300 389 478 567 656 745 834 923 1012
1189 1278 1367 1456 1545 1634 1723 1812 1901 1990 2079 2168 2257 2346 2435 2437 2526 2615 2704 2793 2882 2971 3060 3149 3238 3327 3416 3505 3594 3683 3772 3861 3950 4039 4128 4217 4306 4395 4484 4573 4662 4751 4840 4929 5018 5107 5196 5285 5374 5463 5552 5641 5730 5819 5908 5997 6086 6175 6264 6266 6355 6444 6533 6622 6711 6800 6889 6978 7067 7156 7245 7334 7423 7512 32 121 210 299 388 477 566 655 744 833 922 1011 1100
1277 1366 1455 1544 1633 1722 1811 1900 1989 2078 2167 2256 2345 2434 2523 2525 2614 2703 2792 2881 2970 3059 3148 3237 3326 3415 3504 3593 3682 3771 3860 3949 4038 4127 4216 4305 4394 4483 4572 4661 4750 4839 4928 5017 5106 5195 5284 5373 5462 5551 5640 5729 5818 5907 5996 6085 6174 6263 6265 6354 6443 6532 6621 6710 6799 6888 6977 7066 7155 7244 7333 7422 7511 31 120 209 298 387 476 565 654 743 832 921 1010 1099 1188
1365 1454 1543 1632 1721 1810 1899 1988 2077 2166 2255 2344 2433 2522 2524 2613 2702 2791 2880 2969 3058 3147 3236 3325 3414 3503 3592 3681 3770 3859 3948 4037 4126 4215 4304 4393 4482 4571 4660 4749 4838 4927 5016 5105 5194 5283 5372 5461 5550 5639 5728 5817 5906 5995 6084 6173 6262 6351 6353 6442 6531 6620 6709 6798 6887 6976 7065 7154 7243 7332 7421 7510 30 119 208 297 386 475 564 653 742 831 920 1009 1098 1187 1276
1453 1542 1631 1720 1809 1898 1987 2076 2165 2254 2343 2432 2521 2610 2612 2701 2790 2879 2968 3057 3146 3235 3324 3413 3502 3591 3680 3769 3858 3947 4036 4125 4214 4303 4392 4481 4570 4659 4748 4837 4926 5015 5104 5193 5282 5371 5460 5549 5638 5727 5816 5905 5994 6083 6172 6261 6350 6352 6441 6530 6619 6708 6797 6886 6975 7064 7153 7242 7331 7420 7509 29 118 207 296 385 474 563 652 741 830 919 1008 1097 1186 1275 1364
1541 1630 1719 1808 1897 1986 2075 2164 2253 2342 2431 2520 2609 2611 2700 2789 2878 2967 3056 3145 3234 3323 3412 3501 3590 3679 3768 3857 3946 4035 4124 4213 4302 4391 4480 4569 4658 4747 4836 4925 5014 5103 5192 5281 5370 5459 5548 5637 5726 5815 5904 5993 6082 6171 6260 6349 6438 6440 6529 6618 6707 6796 6885 6974 7063 7152 7241 7330 7419 7508 28 117 206 295 384 473 562 651 740 829 918 1007 1096 1185 1274 1363 1452
1629 1718 1807 1896 1985 2074 2163 2252 2341 2430 2519 2608 2697 2699 2788 2877 2966 3055 3144 3233 3322 3411 3500 3589 3678 3767 3856 3945 4034 4123 4212 4301 4390 4479 4568 4657 4746 4835 4924 5013 5102 5191 5280 5369 5458 5547 5636 5725 5814 5903 5992 6081 6170 6259 6348 6437 6439 6528 6617 6706 6795 6884 6973 7062 7151 7240 7329 7418 7507 27 116 205 294 383 472 561 650 739 828 917 1006 1095 1184 1273 1362 1451 1540
1717 1806 1895 1984 2073 2162 2251 2340 2429 2518 2607 2696 2698 2787 2876 2965 3054 3143 3232 3321 3410 3499 3588 3677 3766 3855 3944 4033 4122 4211 4300 4389 4478 4567 4656 4745 4834 4923 5012 5101 5190 5279 5368 5457 5546 5635 5724 5813 5902 5991 6080 6169 6258 6347 6436 6525 6527 6616 6705 6794 6883 6972 7061 7150 7239 7328 7417 7506 26 115 204 293 382 471 560 649 738 827 916 1005 1094 1183 1272 1361 1450 1539 1628
1805 1894 1983 2072 2161 2250 2339 2428 2517 2606 2695 2784 2786 2875 2964 3053 3142 3231 3320 3409 3498 3587 3676 3765 3854 3943 4032 4121 4210 4299 4388 4477 4566 4655 4744 4833 4922 5011 5100 5189 5278 5367 5456 5545 5634 5723 5812 5901 5990 6079 6168 6257 6346 6435 6524 6526 6615 6704 6793 6882 6971 7060 7149 7238 7327 7416 7505 25 114 203 292 381 470 559 648 737 826 915 1004 1093 1182 1271 1360 1449 1538 1627 1716
1893 1982 2071 2160 2249 2338 2427 2516 2605 2694 2783 2785 2874 2963 3052 3141 3230 3319 3408 3497 3586 3675 3764 3853 3942 4031 4120 4209 4298 4387 4476 4565 4654 4743 4832 4921 5010 5099 5188 5277 5366 5455 5544 5633 5722 5811 5900 5989 6078 6167 6256 6345 6434 6523 6612 6614 6703 6792 6881 6970 7059 7148 7237 7326 7415 7504 24 113 202 291 380 469 558 647 736 825 914 1003 1092 1181 1270 1359 1448 1537 1626 1715 1804
1981 2070 2159 2248 2337 2426 2515 2604 2693 2782 2871 2873 2962 3051 3140 3229 3318 3407 3496 3585 3674 3763 3852 3941 4030 4119 4208 4297 4386 4475 4564 4653 4742 4831 4920 5009 5098 5187 5276 5365 5454 5543 5632 5721 5810 5899 5988 6077 6166 6255 6344 6433 6522 6611 6613 6702 6791 6880 6969 7058 7147 7236 7325 7414 7503 23 112 201 290 379 468 557 646 735 824 913 1002 1091 1180 1269 1358 1447 1536 1625 1714 1803 1892
2069 2158 2247 2336 2425 2514 2603 2692 2781 2870 2872 2961 3050 3139 3228 3317 3406 3495 3584 3673 3762 3851 3940 4029 4118 4207 4296 4385 4474 4563 4652 4741 4830 4919 5008 5097 5186 5275 5364 5453 5542 5631 5720 5809 5898 5987 6076 6165 6254 6343 6432 6521 6610 6699 6701 6790 6879 6968 7057 7146 7235 7324 7413 7502 22 111 200 289 378 467 556 645 734 823 912 1001 1090 1179 1268 1357 1446 1535 1624 1713 1802 1891 1980
2157 2246 2335 2424 2513 2602 2691 2780 2869 2958 2960 3049 3138 3227 3316 3405 3494 3583 3672 3761 3850 3939 4028 4117 4206 4295 4384 4473 4562 4651 4740 4829 4918 5007 5096 5185 5274 5363 5452 5541 5630 5719 5808 5897 5986 6075 6164 6253 6342 6431 6520 6609 6698 6700 6789 6878 6967 7056 7145 7234 7323 7412 7501 21 110 199 288 377 466 555 644 733 822 911 1000 1089 1178 1267 1356 1445 1534 1623 1712 1801 1890 1979 2068
2245 2334 2423 2512 2601 2690 2779 2868 2957 2959 3048 3137 3226 3315 3404 3493 3582 3671 3760 3849 3938 4027 4116 4205 4294 4383 4472 4561 4650 4739 4828 4917 5006 5095 5184 5273 5362 5451 5540 5629 5718 5807 5896 5985 6074 6163 6252 6341 6430 6519 6608 6697 6786 6788 6877 6966 7055 7144 7233 7322 7411 7500 20 109 198 287 376 465 554 643 732 821 910 999 1088 1177 1266 1355 1444 1533 1622 1711 1800 1889 1978 2067 2156
2333 2422 2511 2600 2689 2778 2867 2956 3045 3047 3136 3225 3314 3403 3492 3581 3670 3759 3848 3937 4026 4115 4204 4293 4382 4471 4560 4649 4738 4827 4916 5005 5094 5183 5272 5361 5450 5539 5628 5717 5806 5895 5984 6073 6162 6251 6340 6429 6518 6607 6696 6785 6787 6876 6965 7054 7143 7232 7321 7410 7499 19 108 197 286 375 464 553 642 731 820 909 998 1087 1176 1265 1354 1443 1532 1621 1710 1799 1888 1977 2066 2155 2244
2421 2510 2599 2688 2777 2866 2955 3044 3046 3135 3224 3313 3402 3491 3580 3669 3758 3847 3936 4025 4114 4203 4292 4381 4470 4559 4648 4737 4826 4915 5004 5093 5182 5271 5360 5449 5538 5627 5716 5805 5894 5983 6072 6161 6250 6339 6428 6517 6606 6695 6784 6873 6875 6964 7053 7142 7231 7320 7409 7498 18 107 196 285 374 463 552 641 730 819 908 997 1086 1175 1264 1353 1442 1531 1620 1709 1798 1887 1976 2065 2154 2243 2332
2509 2598 2687 2776 2865 2954 3043 3132 3134 3223 3312 3401 3490 3579 3668 3757 3846 3935 4024 4113 4202 4291 4380 4469 4558 4647 4736 4825 4914 5003 5092 5181 5270 5359 5448 5537 5626 5715 5804 5893 5982 6071 6160 6249 6338 6427 6516 6605 6694 6783 6872 6874 6963 7052 7141 7230 7319 7408 7497 17 106 195 284 373 462 551 640 729 818 907 996 1085 1174 1263 1352 1441 1530 1619 1708 1797 1886 1975 2064 2153 2242 2331 2420
2597 2686 2775 2864 2953 3042 3131 3133 3222 3311 3400 3489 3578 3667 3756 3845 3934 4023 4112 4201 4290 4379 4468 4557 4646 4735 4824 4913 5002 5091 5180 5269 5358 5447 5536 5625 5714 5803 5892 5981 6070 6159 6248 6337 6426 6515 6604 6693 6782 6871 6960 6962 7051 7140 7229 7318 7407 7496 16 105 194 283 372 461 550 639 728 817 906 995 1084 1173 1262 1351 1440 1529 1618 1707 1796 1885 1974 2063 2152 2241 2330 2419 2508
2685 2774 2863 2952 3041 3130 3219 3221 3310 3399 3488 3577 3666 3755 3844 3933 4022 4111 4200 4289 4378 4467 4556 4645 4734 4823 4912 5001 5090 5179 5268 5357 5446 5535 5624 5713 5802 5891 5980 6069 6158 6247 6336 6425 6514 6603 6692 6781 6870 6959 6961 7050 7139 7228 7317 7406 7495 15 104 193 282 371 460 549 638 727 816 905 994 1083 1172 1261 1350 1439 1528 1617 1706 1795 1884 1973 2062 2151 2240 2329 2418 2507 2596
2773 2862 2951 3040 3129 3218 3220 3309 3398 3487 3576 3665 3754 3843 3932 4021 4110 4199 4288 4377 4466 4555 4644 4733 4822 4911 5000 5089 5178 5267 5356 5445 5534 5623 5712 5801 5890 5979 6068 6157 6246 6335 6424 6513 6602 6691 6780 6869 6958 7047 7049 7138 7227 7316 7405 7494 14 103 192 281 370 459 548 637 726 815 904 993 1082 1171 1260 1349 1438 1527 1616 1705 1794 1883 1972 2061 2150 2239 2328 2417 2506 2595 2684
2861 2950 3039 3128 3217 3306 3308 3397 3486 3575 3664 3753 3842 3931 4020 4109 4198 4287 4376 4465 4554 4643 4732 4821 4910 4999 5088 5177 5266 5355 5444 5533 5622 5711 5800 5889 5978 6067 6156 6245 6334 6423 6512 6601 6690 6779 6868 6957 7046 7048 7137 7226 7315 7404 7493 13 102 191 280 369 458 547 636 725 814 903 992 1081 1170 1259 1348 1437 1526 1615 1704 1793 1882 1971 2060 2149 2238 2327 2416 2505 2594 2683 2772
2949 3038 3127 3216 3305 3307 3396 3485 3574 3663 3752 3841 3930 4019 4108 4197 4286 4375 4464 4553 4642 4731 4820 4909 4998 5087 5176 5265 5354 5443 5532 5621 5710 5799 5888 5977 6066 6155 6244 6333 6422 6511 6600 6689 6778 6867 6956 7045 7134 7136 7225 7314 7403 7492 12 101 190 279 368 457 546 635 724 813 902 991 1080 1169 1258 1347 1436 1525 1614 1703 1792 1881 1970 2059 2148 2237 2326 2415 2504 2593 2682 2771 2860
3037 3126 3215 3304 3393 3395 3484 3573 3662 3751 3840 3929 4018 4107 4196 4285 4374 4463 4552 4641 4730 4819 4908 4997 5086 5175 5264 5353 5442 5531 5620 5709 5798 5887 5976 6065 6154 6243 6332 6421 6510 6599 6688 6777 6866 6955 7044 7133 7135 7224 7313 7402 7491 11 100 189 278 367 456 545 634 723 812 901 990 1079 1168 1257 1346 1435 1524 1613 1702 1791 1880 1969 2058 2147 2236 2325 2414 2503 2592 2681 2770 2859 2948
3125 3214 3303 3392 3394 3483 3572 3661 3750 3839 3928 4017 4106 4195 4284 4373 4462 4551 4640 4729 4818 4907 4996 5085 5174 5263 5352 5441 5530 5619 5708 5797 5886 5975 6064 6153 6242 6331 6420 6509 6598 6687 6776 6865 6954 7043 7132 7221 7223 7312 7401 7490 10 99 188 277 366 455 544 633 722 811 900 989 1078 1167 1256 1345 1434 1523 1612 1701 1790 1879 1968 2057 2146 2235 2324 2413 2502 2591 2680 2769 2858 2947 3036
3213 3302 3391 3480 3482 3571 3660 3749 3838 3927 4016 4105 4194 4283 4372 4461 4550 4639 4728 4817 4906 4995 5084 5173 5262 5351 5440 5529 5618 5707 5796 5885 5974 6063 6152 6241 6330 6419 6508 6597 6686 6775 6864 6953 7042 7131 7220 7222 7311 7400 7489 9 98 187 276 365 454 543 632 721 810 899 988 1077 1166 1255 1344 1433 1522 1611 1700 1789 1878 1967 2056 2145 2234 2323 2412 2501 2590 2679 2768 2857 2946 3035 3124
3301 3390 3479 3481 3570 3659 3748 3837 3926 4015 4104 4193 4282 4371 4460 4549 4638 4727 4816 4905 4994 5083 5172 5261 5350 5439 5528 5617 5706 5795 5884 5973 6062 6151 6240 6329 6418 6507 6596 6685 6774 6863 6952 7041 7130 7219 7308 7310 7399 7488 8 97 186 275 364 453 542 631 720 809 898 987 1076 1165 1254 1343 1432 1521 1610 1699 1788 1877 1966 2055 2144 2233 2322 2411 2500 2589 2678 2767 2856 2945 3034 3123 3212
3389 3478 3567 3569 3658 3747 3836 3925 4014 4103 4192 4281 4370 4459 4548 4637 4726 4815 4904 4993 5082 5171 5260 5349 5438 5527 5616 5705 5794 5883 5972 6061 6150 6239 6328 6417 6506 6595 6684 6773 6862 6951 7040 7129 7218 7307 7309 7398 7487 7 96 185 274 363 452 541 630 719 808 897 986 1075 1164 1253 1342 1431 1520 1609 1698 1787 1876 1965 2054 2143 2232 2321 2410 2499 2588 2677 2766 2855 2944 3033 3122 3211 3300
3477 3566 3568 3657 3746 3835 3924 4013 4102 4191 4280 4369 4458 4547 4636 4725 4814 4903 4992 5081 5170 5259 5348 5437 5526 5615 5704 5793 5882 5971 6060 6149 6238 6327 6416 6505 6594 6683 6772 6861 6950 7039 7128 7217 7306 7395 7397 7486 6 95 184 273 362 451 540 629 718 807 896 985 1074 1163 1252 1341 1430 1519 1608 1697 1786 1875 1964 2053 2142 2231 2320 2409 2498 2587 2676 2765 2854 2943 3032 3121 3210 3299 3388
3565 3654 3656 3745 3834 3923 4012 4101 4190 4279 4368 4457 4546 4635 4724 4813 4902 4991 5080 5169 5258 5347 5436 5525 5614 5703 5792 5881 5970 6059 6148 6237 6326 6415 6504 6593 6682 6771 6860 6949 7038 7127 7216 7305 7394 7396 7485 5 94 183 272 361 450 539 628 717 806 895 984 1073 1162 1251 1340 1429 1518 1607 1696 1785 1874 1963 2052 2141 2230 2319 2408 2497 2586 2675 2764 2853 2942 3031 3120 3209 3298 3387 3476
3653 3655 3744 3833 3922 4011 4100 4189 4278 4367 4456 4545 4634 4723 4812 4901 4990 5079 5168 5257 5346 5435 5524 5613 5702 5791 5880 5969 6058 6147 6236 6325 6414 6503 6592 6681 6770 6859 6948 7037 7126 7215 7304 7393 7482 7484 4 93 182 271 360 449 538 627 716 805 894 983 1072 1161 1250 1339 1428 1517 1606 1695 1784 1873 1962 2051 2140 2229 2318 2407 2496 2585 2674 2763 2852 2941 3030 3119 3208 3297 3386 3475 3564
3741 3743 3832 3921 4010 4099 4188 4277 4366 4455 4544 4633 4722 4811 4900 4989 5078 5167 5256 5345 5434 5523 5612 5701 5790 5879 5968 6057 6146 6235 6324 6413 6502 6591 6680 6769 6858 6947 7036 7125 7214 7303 7392 7481 7483 3 92 181 270 359 448 537 626 715 804 893 982 1071 1160 1249 1338 1427 1516 1605 1694 1783 1872 1961 2050 2139 2228 2317 2406 2495 2584 2673 2762 2851 2940 3029 3118 3207 3296 3385 3474 3563 3652
3742 3831 3920 4009 4098 4187 4276 4365 4454 4543 4632 4721 4810 4899 4988 5077 5166 5255 5344 5433 5522 5611 5700 5789 5878 5967 6056 6145 6234 6323 6412 6501 6590 6679 6768 6857 6946 7035 7124 7213 7302 7391 7480 7569 2 91 180 269 358 447 536 625 714 803 892 981 1070 1159 1248 1337 1426 1515 1604 1693 1782 1871 1960 2049 2138 2227 2316 2405 2494 2583 2672 2761 2850 2939 3028 3117 3206 3295 3384 3473 3562 3651 3740


Please
Support Our Site



buy
Amazing Math Whiz
products from
our online store



Many other
Amazing Messages
are available

Please visit
www.MAZES.com/cp/
for details

How to Make Your Own Odd-Size Magic Square

  1. Draw a square with any odd number of rows and columns.
  2. Put your first number in the MIDDLE square of the TOP row.
  3. Move UP and to the RIGHT to find the position for your next number, but ...
    • if the next "position" is ABOVE a column, go to BOTTOM of that column (you can see a sample of this movement by looking at how we moved from 1 to 2 in the square above).
    • if the next "position" is to the RIGHT of a row, go to LEFT of that row (you can see this movement between (44) and (45) above).
    • if the next cell is already filled in, drop down to the cell below the number you just filled in for the next number (you can see this when you look at how we moved from 87 to the next number above).
    • if the next cell is both ABOVE and to the RIGHT of the entire square, drop down to the cell below the number you just filled in for your next number (you can see this if you look at (3828) and the next number).
  4. Print your NEXT number into the new square you just moved to.
  5. Repeat steps 3-4 until the entire square is full.
  6. You can see how it works by printing this page and drawing arrows to see how it worked when I created this magic square
This Magic Square was created by John Knoderer, a webmaster and computer programmer who is available to telecommute to your location.

If you found this page useful, and especially if you printed this page to distribute to students, we invite you to send a suitable donation to John (address below) or PayPal your donation to Donations (at) Mazes.com.

You can find more of John's puzzling materials at www.MAZES.com and at www.GodLovesEveryone.org. You can reach John at Webmaster (at) Mazes.com.

Fine Print: If you print and duplicate these magic squares for classroom use or other multiple copy use, please send a payment of $(however much you think this is worth) to the author. John puts a GREAT DEAL of time into creating and posting materials to the internet for you to use (and enjoy). Your donations will help pay bills and keep new materials coming your way.

Send your donations to:

John Knoderer
www.MAZES.com
P O Box 235
Sulphur Springs, AR 72768 USA

www.MAZES.com
www.GodLovesEveryone.org
www.DriverExam.org

E-mail the webmaster: webmaster (at) mazes.com

The contents of this page are copyright 2005 by the author. However, we recognize that teachers may wish to download and use our materials with their students. We give that permission, as long as the teacher sends what they believe to be a fair donation to the author each time the material is used.

 We also have other
Amazing Message
stores.

Click each image to see
many amazing choices


Amazing Teacher


Amazing Student


Amazing Student


Amazing Reader


Amazing Artist