Books about
Magic Squares
at Amazon.Canada


Amazing Math Whiz
products available:

Buttons, Magnets,
t-shirts, Tote bags,
Teddy bears, & more

Books about Magic Squares at Amazon.com

Be sure to visit the
Magic Squares Main Menu
for other topics including Irregular Squares, Algebraic Squares and more.

Other Magic Square Sizes: 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 *
21 * 23 * 25 * 27 * 29 * 31 * 33 * 35 * 37 * 39 * 41 * 43 * 45 * 47 * 49 * 51 * 53 * 55 * 57 * 59 *
61 * 63 * 65 * 67 * 69 * 71 * 73 * 75 * 77 * 79 * 81 * 83 * 85 * 87 * 89 * 91 * 93 * 95 * 97 * 99 *

A 91x91 Magic Square

Scroll down to see a magic square
in which all rows, columns, and both diagonals
add up to the same magic sum (376831)

A Magic Square is a square of numbers in which every row, every column, and both diagonals add up to the same number. This number is often called the magic sum. The 91 by 91 magic square shown below has a magic sum equal to 376831.

Though magic squares can be made with non-consecutive and non-regular sequences, they are usually seen made up of consecutive numbers. To the best of my knowledge, the middle number in the sequence must be in the center square, and the magic sum will be equal to this middle number times the number of rows in the square. (In the case of 3x3 squares, I have proved that the middle number MUST be equal to one-third of the sum. See proof here.)

All odd-size Magic Squares can be made with the method shown below, which can be summarized as "start in the middle of the top and keep moving up and to the right except when you get blocked, in which case drop down and continue." The more detailed directions about creating these squares can be found further below. There are other methods for creating magic squares, but this is the easiest to learn. (There are basically only two methods of creating a 3x3 square but the larger squares have a large number of irregular variants, and probably other regular methods.)

Read more about Magic Squares

If you'd like to read more about magic squares, click one of these links to look for books about Magic Squares at Amazon.com, at Amazon.canada, and at Amazon.co.UK.

A 91-by-91 Magic Square

(Magic Sum = 376831)

Books about
Magic Squares
at Amazon.co.UK


Support Our Site
by purchasing our
Amazing Math Whiz
products

and other
Amazing Messages

4188 4281 4374 4467 4560 4653 4746 4839 4932 5025 5118 5211 5304 5397 5490 5583 5676 5769 5862 5955 6048 6141 6234 6327 6420 6513 6606 6699 6792 6885 6978 7071 7164 7257 7350 7443 7536 7629 7722 7815 7908 8001 8094 8187 8280 1 94 187 280 373 466 559 652 745 838 931 1024 1117 1210 1303 1396 1489 1582 1675 1768 1861 1954 2047 2140 2233 2326 2419 2512 2605 2698 2791 2884 2977 3070 3163 3256 3349 3442 3535 3628 3721 3814 3907 4000 4093 4186
4280 4373 4466 4559 4652 4745 4838 4931 5024 5117 5210 5303 5396 5489 5582 5675 5768 5861 5954 6047 6140 6233 6326 6419 6512 6605 6698 6791 6884 6977 7070 7163 7256 7349 7442 7535 7628 7721 7814 7907 8000 8093 8186 8279 91 93 186 279 372 465 558 651 744 837 930 1023 1116 1209 1302 1395 1488 1581 1674 1767 1860 1953 2046 2139 2232 2325 2418 2511 2604 2697 2790 2883 2976 3069 3162 3255 3348 3441 3534 3627 3720 3813 3906 3999 4092 4185 4187
4372 4465 4558 4651 4744 4837 4930 5023 5116 5209 5302 5395 5488 5581 5674 5767 5860 5953 6046 6139 6232 6325 6418 6511 6604 6697 6790 6883 6976 7069 7162 7255 7348 7441 7534 7627 7720 7813 7906 7999 8092 8185 8278 90 92 185 278 371 464 557 650 743 836 929 1022 1115 1208 1301 1394 1487 1580 1673 1766 1859 1952 2045 2138 2231 2324 2417 2510 2603 2696 2789 2882 2975 3068 3161 3254 3347 3440 3533 3626 3719 3812 3905 3998 4091 4184 4277 4279
4464 4557 4650 4743 4836 4929 5022 5115 5208 5301 5394 5487 5580 5673 5766 5859 5952 6045 6138 6231 6324 6417 6510 6603 6696 6789 6882 6975 7068 7161 7254 7347 7440 7533 7626 7719 7812 7905 7998 8091 8184 8277 89 182 184 277 370 463 556 649 742 835 928 1021 1114 1207 1300 1393 1486 1579 1672 1765 1858 1951 2044 2137 2230 2323 2416 2509 2602 2695 2788 2881 2974 3067 3160 3253 3346 3439 3532 3625 3718 3811 3904 3997 4090 4183 4276 4278 4371
4556 4649 4742 4835 4928 5021 5114 5207 5300 5393 5486 5579 5672 5765 5858 5951 6044 6137 6230 6323 6416 6509 6602 6695 6788 6881 6974 7067 7160 7253 7346 7439 7532 7625 7718 7811 7904 7997 8090 8183 8276 88 181 183 276 369 462 555 648 741 834 927 1020 1113 1206 1299 1392 1485 1578 1671 1764 1857 1950 2043 2136 2229 2322 2415 2508 2601 2694 2787 2880 2973 3066 3159 3252 3345 3438 3531 3624 3717 3810 3903 3996 4089 4182 4275 4368 4370 4463
4648 4741 4834 4927 5020 5113 5206 5299 5392 5485 5578 5671 5764 5857 5950 6043 6136 6229 6322 6415 6508 6601 6694 6787 6880 6973 7066 7159 7252 7345 7438 7531 7624 7717 7810 7903 7996 8089 8182 8275 87 180 273 275 368 461 554 647 740 833 926 1019 1112 1205 1298 1391 1484 1577 1670 1763 1856 1949 2042 2135 2228 2321 2414 2507 2600 2693 2786 2879 2972 3065 3158 3251 3344 3437 3530 3623 3716 3809 3902 3995 4088 4181 4274 4367 4369 4462 4555
4740 4833 4926 5019 5112 5205 5298 5391 5484 5577 5670 5763 5856 5949 6042 6135 6228 6321 6414 6507 6600 6693 6786 6879 6972 7065 7158 7251 7344 7437 7530 7623 7716 7809 7902 7995 8088 8181 8274 86 179 272 274 367 460 553 646 739 832 925 1018 1111 1204 1297 1390 1483 1576 1669 1762 1855 1948 2041 2134 2227 2320 2413 2506 2599 2692 2785 2878 2971 3064 3157 3250 3343 3436 3529 3622 3715 3808 3901 3994 4087 4180 4273 4366 4459 4461 4554 4647
4832 4925 5018 5111 5204 5297 5390 5483 5576 5669 5762 5855 5948 6041 6134 6227 6320 6413 6506 6599 6692 6785 6878 6971 7064 7157 7250 7343 7436 7529 7622 7715 7808 7901 7994 8087 8180 8273 85 178 271 364 366 459 552 645 738 831 924 1017 1110 1203 1296 1389 1482 1575 1668 1761 1854 1947 2040 2133 2226 2319 2412 2505 2598 2691 2784 2877 2970 3063 3156 3249 3342 3435 3528 3621 3714 3807 3900 3993 4086 4179 4272 4365 4458 4460 4553 4646 4739
4924 5017 5110 5203 5296 5389 5482 5575 5668 5761 5854 5947 6040 6133 6226 6319 6412 6505 6598 6691 6784 6877 6970 7063 7156 7249 7342 7435 7528 7621 7714 7807 7900 7993 8086 8179 8272 84 177 270 363 365 458 551 644 737 830 923 1016 1109 1202 1295 1388 1481 1574 1667 1760 1853 1946 2039 2132 2225 2318 2411 2504 2597 2690 2783 2876 2969 3062 3155 3248 3341 3434 3527 3620 3713 3806 3899 3992 4085 4178 4271 4364 4457 4550 4552 4645 4738 4831
5016 5109 5202 5295 5388 5481 5574 5667 5760 5853 5946 6039 6132 6225 6318 6411 6504 6597 6690 6783 6876 6969 7062 7155 7248 7341 7434 7527 7620 7713 7806 7899 7992 8085 8178 8271 83 176 269 362 455 457 550 643 736 829 922 1015 1108 1201 1294 1387 1480 1573 1666 1759 1852 1945 2038 2131 2224 2317 2410 2503 2596 2689 2782 2875 2968 3061 3154 3247 3340 3433 3526 3619 3712 3805 3898 3991 4084 4177 4270 4363 4456 4549 4551 4644 4737 4830 4923
5108 5201 5294 5387 5480 5573 5666 5759 5852 5945 6038 6131 6224 6317 6410 6503 6596 6689 6782 6875 6968 7061 7154 7247 7340 7433 7526 7619 7712 7805 7898 7991 8084 8177 8270 82 175 268 361 454 456 549 642 735 828 921 1014 1107 1200 1293 1386 1479 1572 1665 1758 1851 1944 2037 2130 2223 2316 2409 2502 2595 2688 2781 2874 2967 3060 3153 3246 3339 3432 3525 3618 3711 3804 3897 3990 4083 4176 4269 4362 4455 4548 4641 4643 4736 4829 4922 5015
5200 5293 5386 5479 5572 5665 5758 5851 5944 6037 6130 6223 6316 6409 6502 6595 6688 6781 6874 6967 7060 7153 7246 7339 7432 7525 7618 7711 7804 7897 7990 8083 8176 8269 81 174 267 360 453 546 548 641 734 827 920 1013 1106 1199 1292 1385 1478 1571 1664 1757 1850 1943 2036 2129 2222 2315 2408 2501 2594 2687 2780 2873 2966 3059 3152 3245 3338 3431 3524 3617 3710 3803 3896 3989 4082 4175 4268 4361 4454 4547 4640 4642 4735 4828 4921 5014 5107
5292 5385 5478 5571 5664 5757 5850 5943 6036 6129 6222 6315 6408 6501 6594 6687 6780 6873 6966 7059 7152 7245 7338 7431 7524 7617 7710 7803 7896 7989 8082 8175 8268 80 173 266 359 452 545 547 640 733 826 919 1012 1105 1198 1291 1384 1477 1570 1663 1756 1849 1942 2035 2128 2221 2314 2407 2500 2593 2686 2779 2872 2965 3058 3151 3244 3337 3430 3523 3616 3709 3802 3895 3988 4081 4174 4267 4360 4453 4546 4639 4732 4734 4827 4920 5013 5106 5199
5384 5477 5570 5663 5756 5849 5942 6035 6128 6221 6314 6407 6500 6593 6686 6779 6872 6965 7058 7151 7244 7337 7430 7523 7616 7709 7802 7895 7988 8081 8174 8267 79 172 265 358 451 544 637 639 732 825 918 1011 1104 1197 1290 1383 1476 1569 1662 1755 1848 1941 2034 2127 2220 2313 2406 2499 2592 2685 2778 2871 2964 3057 3150 3243 3336 3429 3522 3615 3708 3801 3894 3987 4080 4173 4266 4359 4452 4545 4638 4731 4733 4826 4919 5012 5105 5198 5291
5476 5569 5662 5755 5848 5941 6034 6127 6220 6313 6406 6499 6592 6685 6778 6871 6964 7057 7150 7243 7336 7429 7522 7615 7708 7801 7894 7987 8080 8173 8266 78 171 264 357 450 543 636 638 731 824 917 1010 1103 1196 1289 1382 1475 1568 1661 1754 1847 1940 2033 2126 2219 2312 2405 2498 2591 2684 2777 2870 2963 3056 3149 3242 3335 3428 3521 3614 3707 3800 3893 3986 4079 4172 4265 4358 4451 4544 4637 4730 4823 4825 4918 5011 5104 5197 5290 5383
5568 5661 5754 5847 5940 6033 6126 6219 6312 6405 6498 6591 6684 6777 6870 6963 7056 7149 7242 7335 7428 7521 7614 7707 7800 7893 7986 8079 8172 8265 77 170 263 356 449 542 635 728 730 823 916 1009 1102 1195 1288 1381 1474 1567 1660 1753 1846 1939 2032 2125 2218 2311 2404 2497 2590 2683 2776 2869 2962 3055 3148 3241 3334 3427 3520 3613 3706 3799 3892 3985 4078 4171 4264 4357 4450 4543 4636 4729 4822 4824 4917 5010 5103 5196 5289 5382 5475
5660 5753 5846 5939 6032 6125 6218 6311 6404 6497 6590 6683 6776 6869 6962 7055 7148 7241 7334 7427 7520 7613 7706 7799 7892 7985 8078 8171 8264 76 169 262 355 448 541 634 727 729 822 915 1008 1101 1194 1287 1380 1473 1566 1659 1752 1845 1938 2031 2124 2217 2310 2403 2496 2589 2682 2775 2868 2961 3054 3147 3240 3333 3426 3519 3612 3705 3798 3891 3984 4077 4170 4263 4356 4449 4542 4635 4728 4821 4914 4916 5009 5102 5195 5288 5381 5474 5567
5752 5845 5938 6031 6124 6217 6310 6403 6496 6589 6682 6775 6868 6961 7054 7147 7240 7333 7426 7519 7612 7705 7798 7891 7984 8077 8170 8263 75 168 261 354 447 540 633 726 819 821 914 1007 1100 1193 1286 1379 1472 1565 1658 1751 1844 1937 2030 2123 2216 2309 2402 2495 2588 2681 2774 2867 2960 3053 3146 3239 3332 3425 3518 3611 3704 3797 3890 3983 4076 4169 4262 4355 4448 4541 4634 4727 4820 4913 4915 5008 5101 5194 5287 5380 5473 5566 5659
5844 5937 6030 6123 6216 6309 6402 6495 6588 6681 6774 6867 6960 7053 7146 7239 7332 7425 7518 7611 7704 7797 7890 7983 8076 8169 8262 74 167 260 353 446 539 632 725 818 820 913 1006 1099 1192 1285 1378 1471 1564 1657 1750 1843 1936 2029 2122 2215 2308 2401 2494 2587 2680 2773 2866 2959 3052 3145 3238 3331 3424 3517 3610 3703 3796 3889 3982 4075 4168 4261 4354 4447 4540 4633 4726 4819 4912 5005 5007 5100 5193 5286 5379 5472 5565 5658 5751
5936 6029 6122 6215 6308 6401 6494 6587 6680 6773 6866 6959 7052 7145 7238 7331 7424 7517 7610 7703 7796 7889 7982 8075 8168 8261 73 166 259 352 445 538 631 724 817 910 912 1005 1098 1191 1284 1377 1470 1563 1656 1749 1842 1935 2028 2121 2214 2307 2400 2493 2586 2679 2772 2865 2958 3051 3144 3237 3330 3423 3516 3609 3702 3795 3888 3981 4074 4167 4260 4353 4446 4539 4632 4725 4818 4911 5004 5006 5099 5192 5285 5378 5471 5564 5657 5750 5843
6028 6121 6214 6307 6400 6493 6586 6679 6772 6865 6958 7051 7144 7237 7330 7423 7516 7609 7702 7795 7888 7981 8074 8167 8260 72 165 258 351 444 537 630 723 816 909 911 1004 1097 1190 1283 1376 1469 1562 1655 1748 1841 1934 2027 2120 2213 2306 2399 2492 2585 2678 2771 2864 2957 3050 3143 3236 3329 3422 3515 3608 3701 3794 3887 3980 4073 4166 4259 4352 4445 4538 4631 4724 4817 4910 5003 5096 5098 5191 5284 5377 5470 5563 5656 5749 5842 5935
6120 6213 6306 6399 6492 6585 6678 6771 6864 6957 7050 7143 7236 7329 7422 7515 7608 7701 7794 7887 7980 8073 8166 8259 71 164 257 350 443 536 629 722 815 908 1001 1003 1096 1189 1282 1375 1468 1561 1654 1747 1840 1933 2026 2119 2212 2305 2398 2491 2584 2677 2770 2863 2956 3049 3142 3235 3328 3421 3514 3607 3700 3793 3886 3979 4072 4165 4258 4351 4444 4537 4630 4723 4816 4909 5002 5095 5097 5190 5283 5376 5469 5562 5655 5748 5841 5934 6027
6212 6305 6398 6491 6584 6677 6770 6863 6956 7049 7142 7235 7328 7421 7514 7607 7700 7793 7886 7979 8072 8165 8258 70 163 256 349 442 535 628 721 814 907 1000 1002 1095 1188 1281 1374 1467 1560 1653 1746 1839 1932 2025 2118 2211 2304 2397 2490 2583 2676 2769 2862 2955 3048 3141 3234 3327 3420 3513 3606 3699 3792 3885 3978 4071 4164 4257 4350 4443 4536 4629 4722 4815 4908 5001 5094 5187 5189 5282 5375 5468 5561 5654 5747 5840 5933 6026 6119
6304 6397 6490 6583 6676 6769 6862 6955 7048 7141 7234 7327 7420 7513 7606 7699 7792 7885 7978 8071 8164 8257 69 162 255 348 441 534 627 720 813 906 999 1092 1094 1187 1280 1373 1466 1559 1652 1745 1838 1931 2024 2117 2210 2303 2396 2489 2582 2675 2768 2861 2954 3047 3140 3233 3326 3419 3512 3605 3698 3791 3884 3977 4070 4163 4256 4349 4442 4535 4628 4721 4814 4907 5000 5093 5186 5188 5281 5374 5467 5560 5653 5746 5839 5932 6025 6118 6211
6396 6489 6582 6675 6768 6861 6954 7047 7140 7233 7326 7419 7512 7605 7698 7791 7884 7977 8070 8163 8256 68 161 254 347 440 533 626 719 812 905 998 1091 1093 1186 1279 1372 1465 1558 1651 1744 1837 1930 2023 2116 2209 2302 2395 2488 2581 2674 2767 2860 2953 3046 3139 3232 3325 3418 3511 3604 3697 3790 3883 3976 4069 4162 4255 4348 4441 4534 4627 4720 4813 4906 4999 5092 5185 5278 5280 5373 5466 5559 5652 5745 5838 5931 6024 6117 6210 6303
6488 6581 6674 6767 6860 6953 7046 7139 7232 7325 7418 7511 7604 7697 7790 7883 7976 8069 8162 8255 67 160 253 346 439 532 625 718 811 904 997 1090 1183 1185 1278 1371 1464 1557 1650 1743 1836 1929 2022 2115 2208 2301 2394 2487 2580 2673 2766 2859 2952 3045 3138 3231 3324 3417 3510 3603 3696 3789 3882 3975 4068 4161 4254 4347 4440 4533 4626 4719 4812 4905 4998 5091 5184 5277 5279 5372 5465 5558 5651 5744 5837 5930 6023 6116 6209 6302 6395
6580 6673 6766 6859 6952 7045 7138 7231 7324 7417 7510 7603 7696 7789 7882 7975 8068 8161 8254 66 159 252 345 438 531 624 717 810 903 996 1089 1182 1184 1277 1370 1463 1556 1649 1742 1835 1928 2021 2114 2207 2300 2393 2486 2579 2672 2765 2858 2951 3044 3137 3230 3323 3416 3509 3602 3695 3788 3881 3974 4067 4160 4253 4346 4439 4532 4625 4718 4811 4904 4997 5090 5183 5276 5369 5371 5464 5557 5650 5743 5836 5929 6022 6115 6208 6301 6394 6487
6672 6765 6858 6951 7044 7137 7230 7323 7416 7509 7602 7695 7788 7881 7974 8067 8160 8253 65 158 251 344 437 530 623 716 809 902 995 1088 1181 1274 1276 1369 1462 1555 1648 1741 1834 1927 2020 2113 2206 2299 2392 2485 2578 2671 2764 2857 2950 3043 3136 3229 3322 3415 3508 3601 3694 3787 3880 3973 4066 4159 4252 4345 4438 4531 4624 4717 4810 4903 4996 5089 5182 5275 5368 5370 5463 5556 5649 5742 5835 5928 6021 6114 6207 6300 6393 6486 6579
6764 6857 6950 7043 7136 7229 7322 7415 7508 7601 7694 7787 7880 7973 8066 8159 8252 64 157 250 343 436 529 622 715 808 901 994 1087 1180 1273 1275 1368 1461 1554 1647 1740 1833 1926 2019 2112 2205 2298 2391 2484 2577 2670 2763 2856 2949 3042 3135 3228 3321 3414 3507 3600 3693 3786 3879 3972 4065 4158 4251 4344 4437 4530 4623 4716 4809 4902 4995 5088 5181 5274 5367 5460 5462 5555 5648 5741 5834 5927 6020 6113 6206 6299 6392 6485 6578 6671
6856 6949 7042 7135 7228 7321 7414 7507 7600 7693 7786 7879 7972 8065 8158 8251 63 156 249 342 435 528 621 714 807 900 993 1086 1179 1272 1365 1367 1460 1553 1646 1739 1832 1925 2018 2111 2204 2297 2390 2483 2576 2669 2762 2855 2948 3041 3134 3227 3320 3413 3506 3599 3692 3785 3878 3971 4064 4157 4250 4343 4436 4529 4622 4715 4808 4901 4994 5087 5180 5273 5366 5459 5461 5554 5647 5740 5833 5926 6019 6112 6205 6298 6391 6484 6577 6670 6763
6948 7041 7134 7227 7320 7413 7506 7599 7692 7785 7878 7971 8064 8157 8250 62 155 248 341 434 527 620 713 806 899 992 1085 1178 1271 1364 1366 1459 1552 1645 1738 1831 1924 2017 2110 2203 2296 2389 2482 2575 2668 2761 2854 2947 3040 3133 3226 3319 3412 3505 3598 3691 3784 3877 3970 4063 4156 4249 4342 4435 4528 4621 4714 4807 4900 4993 5086 5179 5272 5365 5458 5551 5553 5646 5739 5832 5925 6018 6111 6204 6297 6390 6483 6576 6669 6762 6855
7040 7133 7226 7319 7412 7505 7598 7691 7784 7877 7970 8063 8156 8249 61 154 247 340 433 526 619 712 805 898 991 1084 1177 1270 1363 1456 1458 1551 1644 1737 1830 1923 2016 2109 2202 2295 2388 2481 2574 2667 2760 2853 2946 3039 3132 3225 3318 3411 3504 3597 3690 3783 3876 3969 4062 4155 4248 4341 4434 4527 4620 4713 4806 4899 4992 5085 5178 5271 5364 5457 5550 5552 5645 5738 5831 5924 6017 6110 6203 6296 6389 6482 6575 6668 6761 6854 6947
7132 7225 7318 7411 7504 7597 7690 7783 7876 7969 8062 8155 8248 60 153 246 339 432 525 618 711 804 897 990 1083 1176 1269 1362 1455 1457 1550 1643 1736 1829 1922 2015 2108 2201 2294 2387 2480 2573 2666 2759 2852 2945 3038 3131 3224 3317 3410 3503 3596 3689 3782 3875 3968 4061 4154 4247 4340 4433 4526 4619 4712 4805 4898 4991 5084 5177 5270 5363 5456 5549 5642 5644 5737 5830 5923 6016 6109 6202 6295 6388 6481 6574 6667 6760 6853 6946 7039
7224 7317 7410 7503 7596 7689 7782 7875 7968 8061 8154 8247 59 152 245 338 431 524 617 710 803 896 989 1082 1175 1268 1361 1454 1547 1549 1642 1735 1828 1921 2014 2107 2200 2293 2386 2479 2572 2665 2758 2851 2944 3037 3130 3223 3316 3409 3502 3595 3688 3781 3874 3967 4060 4153 4246 4339 4432 4525 4618 4711 4804 4897 4990 5083 5176 5269 5362 5455 5548 5641 5643 5736 5829 5922 6015 6108 6201 6294 6387 6480 6573 6666 6759 6852 6945 7038 7131
7316 7409 7502 7595 7688 7781 7874 7967 8060 8153 8246 58 151 244 337 430 523 616 709 802 895 988 1081 1174 1267 1360 1453 1546 1548 1641 1734 1827 1920 2013 2106 2199 2292 2385 2478 2571 2664 2757 2850 2943 3036 3129 3222 3315 3408 3501 3594 3687 3780 3873 3966 4059 4152 4245 4338 4431 4524 4617 4710 4803 4896 4989 5082 5175 5268 5361 5454 5547 5640 5733 5735 5828 5921 6014 6107 6200 6293 6386 6479 6572 6665 6758 6851 6944 7037 7130 7223
7408 7501 7594 7687 7780 7873 7966 8059 8152 8245 57 150 243 336 429 522 615 708 801 894 987 1080 1173 1266 1359 1452 1545 1638 1640 1733 1826 1919 2012 2105 2198 2291 2384 2477 2570 2663 2756 2849 2942 3035 3128 3221 3314 3407 3500 3593 3686 3779 3872 3965 4058 4151 4244 4337 4430 4523 4616 4709 4802 4895 4988 5081 5174 5267 5360 5453 5546 5639 5732 5734 5827 5920 6013 6106 6199 6292 6385 6478 6571 6664 6757 6850 6943 7036 7129 7222 7315
7500 7593 7686 7779 7872 7965 8058 8151 8244 56 149 242 335 428 521 614 707 800 893 986 1079 1172 1265 1358 1451 1544 1637 1639 1732 1825 1918 2011 2104 2197 2290 2383 2476 2569 2662 2755 2848 2941 3034 3127 3220 3313 3406 3499 3592 3685 3778 3871 3964 4057 4150 4243 4336 4429 4522 4615 4708 4801 4894 4987 5080 5173 5266 5359 5452 5545 5638 5731 5824 5826 5919 6012 6105 6198 6291 6384 6477 6570 6663 6756 6849 6942 7035 7128 7221 7314 7407
7592 7685 7778 7871 7964 8057 8150 8243 55 148 241 334 427 520 613 706 799 892 985 1078 1171 1264 1357 1450 1543 1636 1729 1731 1824 1917 2010 2103 2196 2289 2382 2475 2568 2661 2754 2847 2940 3033 3126 3219 3312 3405 3498 3591 3684 3777 3870 3963 4056 4149 4242 4335 4428 4521 4614 4707 4800 4893 4986 5079 5172 5265 5358 5451 5544 5637 5730 5823 5825 5918 6011 6104 6197 6290 6383 6476 6569 6662 6755 6848 6941 7034 7127 7220 7313 7406 7499
7684 7777 7870 7963 8056 8149 8242 54 147 240 333 426 519 612 705 798 891 984 1077 1170 1263 1356 1449 1542 1635 1728 1730 1823 1916 2009 2102 2195 2288 2381 2474 2567 2660 2753 2846 2939 3032 3125 3218 3311 3404 3497 3590 3683 3776 3869 3962 4055 4148 4241 4334 4427 4520 4613 4706 4799 4892 4985 5078 5171 5264 5357 5450 5543 5636 5729 5822 5915 5917 6010 6103 6196 6289 6382 6475 6568 6661 6754 6847 6940 7033 7126 7219 7312 7405 7498 7591
7776 7869 7962 8055 8148 8241 53 146 239 332 425 518 611 704 797 890 983 1076 1169 1262 1355 1448 1541 1634 1727 1820 1822 1915 2008 2101 2194 2287 2380 2473 2566 2659 2752 2845 2938 3031 3124 3217 3310 3403 3496 3589 3682 3775 3868 3961 4054 4147 4240 4333 4426 4519 4612 4705 4798 4891 4984 5077 5170 5263 5356 5449 5542 5635 5728 5821 5914 5916 6009 6102 6195 6288 6381 6474 6567 6660 6753 6846 6939 7032 7125 7218 7311 7404 7497 7590 7683
7868 7961 8054 8147 8240 52 145 238 331 424 517 610 703 796 889 982 1075 1168 1261 1354 1447 1540 1633 1726 1819 1821 1914 2007 2100 2193 2286 2379 2472 2565 2658 2751 2844 2937 3030 3123 3216 3309 3402 3495 3588 3681 3774 3867 3960 4053 4146 4239 4332 4425 4518 4611 4704 4797 4890 4983 5076 5169 5262 5355 5448 5541 5634 5727 5820 5913 6006 6008 6101 6194 6287 6380 6473 6566 6659 6752 6845 6938 7031 7124 7217 7310 7403 7496 7589 7682 7775
7960 8053 8146 8239 51 144 237 330 423 516 609 702 795 888 981 1074 1167 1260 1353 1446 1539 1632 1725 1818 1911 1913 2006 2099 2192 2285 2378 2471 2564 2657 2750 2843 2936 3029 3122 3215 3308 3401 3494 3587 3680 3773 3866 3959 4052 4145 4238 4331 4424 4517 4610 4703 4796 4889 4982 5075 5168 5261 5354 5447 5540 5633 5726 5819 5912 6005 6007 6100 6193 6286 6379 6472 6565 6658 6751 6844 6937 7030 7123 7216 7309 7402 7495 7588 7681 7774 7867
8052 8145 8238 50 143 236 329 422 515 608 701 794 887 980 1073 1166 1259 1352 1445 1538 1631 1724 1817 1910 1912 2005 2098 2191 2284 2377 2470 2563 2656 2749 2842 2935 3028 3121 3214 3307 3400 3493 3586 3679 3772 3865 3958 4051 4144 4237 4330 4423 4516 4609 4702 4795 4888 4981 5074 5167 5260 5353 5446 5539 5632 5725 5818 5911 6004 6097 6099 6192 6285 6378 6471 6564 6657 6750 6843 6936 7029 7122 7215 7308 7401 7494 7587 7680 7773 7866 7959
8144 8237 49 142 235 328 421 514 607 700 793 886 979 1072 1165 1258 1351 1444 1537 1630 1723 1816 1909 2002 2004 2097 2190 2283 2376 2469 2562 2655 2748 2841 2934 3027 3120 3213 3306 3399 3492 3585 3678 3771 3864 3957 4050 4143 4236 4329 4422 4515 4608 4701 4794 4887 4980 5073 5166 5259 5352 5445 5538 5631 5724 5817 5910 6003 6096 6098 6191 6284 6377 6470 6563 6656 6749 6842 6935 7028 7121 7214 7307 7400 7493 7586 7679 7772 7865 7958 8051
8236 48 141 234 327 420 513 606 699 792 885 978 1071 1164 1257 1350 1443 1536 1629 1722 1815 1908 2001 2003 2096 2189 2282 2375 2468 2561 2654 2747 2840 2933 3026 3119 3212 3305 3398 3491 3584 3677 3770 3863 3956 4049 4142 4235 4328 4421 4514 4607 4700 4793 4886 4979 5072 5165 5258 5351 5444 5537 5630 5723 5816 5909 6002 6095 6188 6190 6283 6376 6469 6562 6655 6748 6841 6934 7027 7120 7213 7306 7399 7492 7585 7678 7771 7864 7957 8050 8143
47 140 233 326 419 512 605 698 791 884 977 1070 1163 1256 1349 1442 1535 1628 1721 1814 1907 2000 2093 2095 2188 2281 2374 2467 2560 2653 2746 2839 2932 3025 3118 3211 3304 3397 3490 3583 3676 3769 3862 3955 4048 4141 4234 4327 4420 4513 4606 4699 4792 4885 4978 5071 5164 5257 5350 5443 5536 5629 5722 5815 5908 6001 6094 6187 6189 6282 6375 6468 6561 6654 6747 6840 6933 7026 7119 7212 7305 7398 7491 7584 7677 7770 7863 7956 8049 8142 8235
139 232 325 418 511 604 697 790 883 976 1069 1162 1255 1348 1441 1534 1627 1720 1813 1906 1999 2092 2094 2187 2280 2373 2466 2559 2652 2745 2838 2931 3024 3117 3210 3303 3396 3489 3582 3675 3768 3861 3954 4047 4140 4233 4326 4419 4512 4605 4698 4791 4884 4977 5070 5163 5256 5349 5442 5535 5628 5721 5814 5907 6000 6093 6186 6279 6281 6374 6467 6560 6653 6746 6839 6932 7025 7118 7211 7304 7397 7490 7583 7676 7769 7862 7955 8048 8141 8234 46
231 324 417 510 603 696 789 882 975 1068 1161 1254 1347 1440 1533 1626 1719 1812 1905 1998 2091 2184 2186 2279 2372 2465 2558 2651 2744 2837 2930 3023 3116 3209 3302 3395 3488 3581 3674 3767 3860 3953 4046 4139 4232 4325 4418 4511 4604 4697 4790 4883 4976 5069 5162 5255 5348 5441 5534 5627 5720 5813 5906 5999 6092 6185 6278 6280 6373 6466 6559 6652 6745 6838 6931 7024 7117 7210 7303 7396 7489 7582 7675 7768 7861 7954 8047 8140 8233 45 138
323 416 509 602 695 788 881 974 1067 1160 1253 1346 1439 1532 1625 1718 1811 1904 1997 2090 2183 2185 2278 2371 2464 2557 2650 2743 2836 2929 3022 3115 3208 3301 3394 3487 3580 3673 3766 3859 3952 4045 4138 4231 4324 4417 4510 4603 4696 4789 4882 4975 5068 5161 5254 5347 5440 5533 5626 5719 5812 5905 5998 6091 6184 6277 6370 6372 6465 6558 6651 6744 6837 6930 7023 7116 7209 7302 7395 7488 7581 7674 7767 7860 7953 8046 8139 8232 44 137 230
415 508 601 694 787 880 973 1066 1159 1252 1345 1438 1531 1624 1717 1810 1903 1996 2089 2182 2275 2277 2370 2463 2556 2649 2742 2835 2928 3021 3114 3207 3300 3393 3486 3579 3672 3765 3858 3951 4044 4137 4230 4323 4416 4509 4602 4695 4788 4881 4974 5067 5160 5253 5346 5439 5532 5625 5718 5811 5904 5997 6090 6183 6276 6369 6371 6464 6557 6650 6743 6836 6929 7022 7115 7208 7301 7394 7487 7580 7673 7766 7859 7952 8045 8138 8231 43 136 229 322
507 600 693 786 879 972 1065 1158 1251 1344 1437 1530 1623 1716 1809 1902 1995 2088 2181 2274 2276 2369 2462 2555 2648 2741 2834 2927 3020 3113 3206 3299 3392 3485 3578 3671 3764 3857 3950 4043 4136 4229 4322 4415 4508 4601 4694 4787 4880 4973 5066 5159 5252 5345 5438 5531 5624 5717 5810 5903 5996 6089 6182 6275 6368 6461 6463 6556 6649 6742 6835 6928 7021 7114 7207 7300 7393 7486 7579 7672 7765 7858 7951 8044 8137 8230 42 135 228 321 414
599 692 785 878 971 1064 1157 1250 1343 1436 1529 1622 1715 1808 1901 1994 2087 2180 2273 2366 2368 2461 2554 2647 2740 2833 2926 3019 3112 3205 3298 3391 3484 3577 3670 3763 3856 3949 4042 4135 4228 4321 4414 4507 4600 4693 4786 4879 4972 5065 5158 5251 5344 5437 5530 5623 5716 5809 5902 5995 6088 6181 6274 6367 6460 6462 6555 6648 6741 6834 6927 7020 7113 7206 7299 7392 7485 7578 7671 7764 7857 7950 8043 8136 8229 41 134 227 320 413 506
691 784 877 970 1063 1156 1249 1342 1435 1528 1621 1714 1807 1900 1993 2086 2179 2272 2365 2367 2460 2553 2646 2739 2832 2925 3018 3111 3204 3297 3390 3483 3576 3669 3762 3855 3948 4041 4134 4227 4320 4413 4506 4599 4692 4785 4878 4971 5064 5157 5250 5343 5436 5529 5622 5715 5808 5901 5994 6087 6180 6273 6366 6459 6552 6554 6647 6740 6833 6926 7019 7112 7205 7298 7391 7484 7577 7670 7763 7856 7949 8042 8135 8228 40 133 226 319 412 505 598
783 876 969 1062 1155 1248 1341 1434 1527 1620 1713 1806 1899 1992 2085 2178 2271 2364 2457 2459 2552 2645 2738 2831 2924 3017 3110 3203 3296 3389 3482 3575 3668 3761 3854 3947 4040 4133 4226 4319 4412 4505 4598 4691 4784 4877 4970 5063 5156 5249 5342 5435 5528 5621 5714 5807 5900 5993 6086 6179 6272 6365 6458 6551 6553 6646 6739 6832 6925 7018 7111 7204 7297 7390 7483 7576 7669 7762 7855 7948 8041 8134 8227 39 132 225 318 411 504 597 690
875 968 1061 1154 1247 1340 1433 1526 1619 1712 1805 1898 1991 2084 2177 2270 2363 2456 2458 2551 2644 2737 2830 2923 3016 3109 3202 3295 3388 3481 3574 3667 3760 3853 3946 4039 4132 4225 4318 4411 4504 4597 4690 4783 4876 4969 5062 5155 5248 5341 5434 5527 5620 5713 5806 5899 5992 6085 6178 6271 6364 6457 6550 6643 6645 6738 6831 6924 7017 7110 7203 7296 7389 7482 7575 7668 7761 7854 7947 8040 8133 8226 38 131 224 317 410 503 596 689 782
967 1060 1153 1246 1339 1432 1525 1618 1711 1804 1897 1990 2083 2176 2269 2362 2455 2548 2550 2643 2736 2829 2922 3015 3108 3201 3294 3387 3480 3573 3666 3759 3852 3945 4038 4131 4224 4317 4410 4503 4596 4689 4782 4875 4968 5061 5154 5247 5340 5433 5526 5619 5712 5805 5898 5991 6084 6177 6270 6363 6456 6549 6642 6644 6737 6830 6923 7016 7109 7202 7295 7388 7481 7574 7667 7760 7853 7946 8039 8132 8225 37 130 223 316 409 502 595 688 781 874
1059 1152 1245 1338 1431 1524 1617 1710 1803 1896 1989 2082 2175 2268 2361 2454 2547 2549 2642 2735 2828 2921 3014 3107 3200 3293 3386 3479 3572 3665 3758 3851 3944 4037 4130 4223 4316 4409 4502 4595 4688 4781 4874 4967 5060 5153 5246 5339 5432 5525 5618 5711 5804 5897 5990 6083 6176 6269 6362 6455 6548 6641 6734 6736 6829 6922 7015 7108 7201 7294 7387 7480 7573 7666 7759 7852 7945 8038 8131 8224 36 129 222 315 408 501 594 687 780 873 966
1151 1244 1337 1430 1523 1616 1709 1802 1895 1988 2081 2174 2267 2360 2453 2546 2639 2641 2734 2827 2920 3013 3106 3199 3292 3385 3478 3571 3664 3757 3850 3943 4036 4129 4222 4315 4408 4501 4594 4687 4780 4873 4966 5059 5152 5245 5338 5431 5524 5617 5710 5803 5896 5989 6082 6175 6268 6361 6454 6547 6640 6733 6735 6828 6921 7014 7107 7200 7293 7386 7479 7572 7665 7758 7851 7944 8037 8130 8223 35 128 221 314 407 500 593 686 779 872 965 1058
1243 1336 1429 1522 1615 1708 1801 1894 1987 2080 2173 2266 2359 2452 2545 2638 2640 2733 2826 2919 3012 3105 3198 3291 3384 3477 3570 3663 3756 3849 3942 4035 4128 4221 4314 4407 4500 4593 4686 4779 4872 4965 5058 5151 5244 5337 5430 5523 5616 5709 5802 5895 5988 6081 6174 6267 6360 6453 6546 6639 6732 6825 6827 6920 7013 7106 7199 7292 7385 7478 7571 7664 7757 7850 7943 8036 8129 8222 34 127 220 313 406 499 592 685 778 871 964 1057 1150
1335 1428 1521 1614 1707 1800 1893 1986 2079 2172 2265 2358 2451 2544 2637 2730 2732 2825 2918 3011 3104 3197 3290 3383 3476 3569 3662 3755 3848 3941 4034 4127 4220 4313 4406 4499 4592 4685 4778 4871 4964 5057 5150 5243 5336 5429 5522 5615 5708 5801 5894 5987 6080 6173 6266 6359 6452 6545 6638 6731 6824 6826 6919 7012 7105 7198 7291 7384 7477 7570 7663 7756 7849 7942 8035 8128 8221 33 126 219 312 405 498 591 684 777 870 963 1056 1149 1242
1427 1520 1613 1706 1799 1892 1985 2078 2171 2264 2357 2450 2543 2636 2729 2731 2824 2917 3010 3103 3196 3289 3382 3475 3568 3661 3754 3847 3940 4033 4126 4219 4312 4405 4498 4591 4684 4777 4870 4963 5056 5149 5242 5335 5428 5521 5614 5707 5800 5893 5986 6079 6172 6265 6358 6451 6544 6637 6730 6823 6916 6918 7011 7104 7197 7290 7383 7476 7569 7662 7755 7848 7941 8034 8127 8220 32 125 218 311 404 497 590 683 776 869 962 1055 1148 1241 1334
1519 1612 1705 1798 1891 1984 2077 2170 2263 2356 2449 2542 2635 2728 2821 2823 2916 3009 3102 3195 3288 3381 3474 3567 3660 3753 3846 3939 4032 4125 4218 4311 4404 4497 4590 4683 4776 4869 4962 5055 5148 5241 5334 5427 5520 5613 5706 5799 5892 5985 6078 6171 6264 6357 6450 6543 6636 6729 6822 6915 6917 7010 7103 7196 7289 7382 7475 7568 7661 7754 7847 7940 8033 8126 8219 31 124 217 310 403 496 589 682 775 868 961 1054 1147 1240 1333 1426
1611 1704 1797 1890 1983 2076 2169 2262 2355 2448 2541 2634 2727 2820 2822 2915 3008 3101 3194 3287 3380 3473 3566 3659 3752 3845 3938 4031 4124 4217 4310 4403 4496 4589 4682 4775 4868 4961 5054 5147 5240 5333 5426 5519 5612 5705 5798 5891 5984 6077 6170 6263 6356 6449 6542 6635 6728 6821 6914 7007 7009 7102 7195 7288 7381 7474 7567 7660 7753 7846 7939 8032 8125 8218 30 123 216 309 402 495 588 681 774 867 960 1053 1146 1239 1332 1425 1518
1703 1796 1889 1982 2075 2168 2261 2354 2447 2540 2633 2726 2819 2912 2914 3007 3100 3193 3286 3379 3472 3565 3658 3751 3844 3937 4030 4123 4216 4309 4402 4495 4588 4681 4774 4867 4960 5053 5146 5239 5332 5425 5518 5611 5704 5797 5890 5983 6076 6169 6262 6355 6448 6541 6634 6727 6820 6913 7006 7008 7101 7194 7287 7380 7473 7566 7659 7752 7845 7938 8031 8124 8217 29 122 215 308 401 494 587 680 773 866 959 1052 1145 1238 1331 1424 1517 1610
1795 1888 1981 2074 2167 2260 2353 2446 2539 2632 2725 2818 2911 2913 3006 3099 3192 3285 3378 3471 3564 3657 3750 3843 3936 4029 4122 4215 4308 4401 4494 4587 4680 4773 4866 4959 5052 5145 5238 5331 5424 5517 5610 5703 5796 5889 5982 6075 6168 6261 6354 6447 6540 6633 6726 6819 6912 7005 7098 7100 7193 7286 7379 7472 7565 7658 7751 7844 7937 8030 8123 8216 28 121 214 307 400 493 586 679 772 865 958 1051 1144 1237 1330 1423 1516 1609 1702
1887 1980 2073 2166 2259 2352 2445 2538 2631 2724 2817 2910 3003 3005 3098 3191 3284 3377 3470 3563 3656 3749 3842 3935 4028 4121 4214 4307 4400 4493 4586 4679 4772 4865 4958 5051 5144 5237 5330 5423 5516 5609 5702 5795 5888 5981 6074 6167 6260 6353 6446 6539 6632 6725 6818 6911 7004 7097 7099 7192 7285 7378 7471 7564 7657 7750 7843 7936 8029 8122 8215 27 120 213 306 399 492 585 678 771 864 957 1050 1143 1236 1329 1422 1515 1608 1701 1794
1979 2072 2165 2258 2351 2444 2537 2630 2723 2816 2909 3002 3004 3097 3190 3283 3376 3469 3562 3655 3748 3841 3934 4027 4120 4213 4306 4399 4492 4585 4678 4771 4864 4957 5050 5143 5236 5329 5422 5515 5608 5701 5794 5887 5980 6073 6166 6259 6352 6445 6538 6631 6724 6817 6910 7003 7096 7189 7191 7284 7377 7470 7563 7656 7749 7842 7935 8028 8121 8214 26 119 212 305 398 491 584 677 770 863 956 1049 1142 1235 1328 1421 1514 1607 1700 1793 1886
2071 2164 2257 2350 2443 2536 2629 2722 2815 2908 3001 3094 3096 3189 3282 3375 3468 3561 3654 3747 3840 3933 4026 4119 4212 4305 4398 4491 4584 4677 4770 4863 4956 5049 5142 5235 5328 5421 5514 5607 5700 5793 5886 5979 6072 6165 6258 6351 6444 6537 6630 6723 6816 6909 7002 7095 7188 7190 7283 7376 7469 7562 7655 7748 7841 7934 8027 8120 8213 25 118 211 304 397 490 583 676 769 862 955 1048 1141 1234 1327 1420 1513 1606 1699 1792 1885 1978
2163 2256 2349 2442 2535 2628 2721 2814 2907 3000 3093 3095 3188 3281 3374 3467 3560 3653 3746 3839 3932 4025 4118 4211 4304 4397 4490 4583 4676 4769 4862 4955 5048 5141 5234 5327 5420 5513 5606 5699 5792 5885 5978 6071 6164 6257 6350 6443 6536 6629 6722 6815 6908 7001 7094 7187 7280 7282 7375 7468 7561 7654 7747 7840 7933 8026 8119 8212 24 117 210 303 396 489 582 675 768 861 954 1047 1140 1233 1326 1419 1512 1605 1698 1791 1884 1977 2070
2255 2348 2441 2534 2627 2720 2813 2906 2999 3092 3185 3187 3280 3373 3466 3559 3652 3745 3838 3931 4024 4117 4210 4303 4396 4489 4582 4675 4768 4861 4954 5047 5140 5233 5326 5419 5512 5605 5698 5791 5884 5977 6070 6163 6256 6349 6442 6535 6628 6721 6814 6907 7000 7093 7186 7279 7281 7374 7467 7560 7653 7746 7839 7932 8025 8118 8211 23 116 209 302 395 488 581 674 767 860 953 1046 1139 1232 1325 1418 1511 1604 1697 1790 1883 1976 2069 2162
2347 2440 2533 2626 2719 2812 2905 2998 3091 3184 3186 3279 3372 3465 3558 3651 3744 3837 3930 4023 4116 4209 4302 4395 4488 4581 4674 4767 4860 4953 5046 5139 5232 5325 5418 5511 5604 5697 5790 5883 5976 6069 6162 6255 6348 6441 6534 6627 6720 6813 6906 6999 7092 7185 7278 7371 7373 7466 7559 7652 7745 7838 7931 8024 8117 8210 22 115 208 301 394 487 580 673 766 859 952 1045 1138 1231 1324 1417 1510 1603 1696 1789 1882 1975 2068 2161 2254
2439 2532 2625 2718 2811 2904 2997 3090 3183 3276 3278 3371 3464 3557 3650 3743 3836 3929 4022 4115 4208 4301 4394 4487 4580 4673 4766 4859 4952 5045 5138 5231 5324 5417 5510 5603 5696 5789 5882 5975 6068 6161 6254 6347 6440 6533 6626 6719 6812 6905 6998 7091 7184 7277 7370 7372 7465 7558 7651 7744 7837 7930 8023 8116 8209 21 114 207 300 393 486 579 672 765 858 951 1044 1137 1230 1323 1416 1509 1602 1695 1788 1881 1974 2067 2160 2253 2346
2531 2624 2717 2810 2903 2996 3089 3182 3275 3277 3370 3463 3556 3649 3742 3835 3928 4021 4114 4207 4300 4393 4486 4579 4672 4765 4858 4951 5044 5137 5230 5323 5416 5509 5602 5695 5788 5881 5974 6067 6160 6253 6346 6439 6532 6625 6718 6811 6904 6997 7090 7183 7276 7369 7462 7464 7557 7650 7743 7836 7929 8022 8115 8208 20 113 206 299 392 485 578 671 764 857 950 1043 1136 1229 1322 1415 1508 1601 1694 1787 1880 1973 2066 2159 2252 2345 2438
2623 2716 2809 2902 2995 3088 3181 3274 3367 3369 3462 3555 3648 3741 3834 3927 4020 4113 4206 4299 4392 4485 4578 4671 4764 4857 4950 5043 5136 5229 5322 5415 5508 5601 5694 5787 5880 5973 6066 6159 6252 6345 6438 6531 6624 6717 6810 6903 6996 7089 7182 7275 7368 7461 7463 7556 7649 7742 7835 7928 8021 8114 8207 19 112 205 298 391 484 577 670 763 856 949 1042 1135 1228 1321 1414 1507 1600 1693 1786 1879 1972 2065 2158 2251 2344 2437 2530
2715 2808 2901 2994 3087 3180 3273 3366 3368 3461 3554 3647 3740 3833 3926 4019 4112 4205 4298 4391 4484 4577 4670 4763 4856 4949 5042 5135 5228 5321 5414 5507 5600 5693 5786 5879 5972 6065 6158 6251 6344 6437 6530 6623 6716 6809 6902 6995 7088 7181 7274 7367 7460 7553 7555 7648 7741 7834 7927 8020 8113 8206 18 111 204 297 390 483 576 669 762 855 948 1041 1134 1227 1320 1413 1506 1599 1692 1785 1878 1971 2064 2157 2250 2343 2436 2529 2622
2807 2900 2993 3086 3179 3272 3365 3458 3460 3553 3646 3739 3832 3925 4018 4111 4204 4297 4390 4483 4576 4669 4762 4855 4948 5041 5134 5227 5320 5413 5506 5599 5692 5785 5878 5971 6064 6157 6250 6343 6436 6529 6622 6715 6808 6901 6994 7087 7180 7273 7366 7459 7552 7554 7647 7740 7833 7926 8019 8112 8205 17 110 203 296 389 482 575 668 761 854 947 1040 1133 1226 1319 1412 1505 1598 1691 1784 1877 1970 2063 2156 2249 2342 2435 2528 2621 2714
2899 2992 3085 3178 3271 3364 3457 3459 3552 3645 3738 3831 3924 4017 4110 4203 4296 4389 4482 4575 4668 4761 4854 4947 5040 5133 5226 5319 5412 5505 5598 5691 5784 5877 5970 6063 6156 6249 6342 6435 6528 6621 6714 6807 6900 6993 7086 7179 7272 7365 7458 7551 7644 7646 7739 7832 7925 8018 8111 8204 16 109 202 295 388 481 574 667 760 853 946 1039 1132 1225 1318 1411 1504 1597 1690 1783 1876 1969 2062 2155 2248 2341 2434 2527 2620 2713 2806
2991 3084 3177 3270 3363 3456 3549 3551 3644 3737 3830 3923 4016 4109 4202 4295 4388 4481 4574 4667 4760 4853 4946 5039 5132 5225 5318 5411 5504 5597 5690 5783 5876 5969 6062 6155 6248 6341 6434 6527 6620 6713 6806 6899 6992 7085 7178 7271 7364 7457 7550 7643 7645 7738 7831 7924 8017 8110 8203 15 108 201 294 387 480 573 666 759 852 945 1038 1131 1224 1317 1410 1503 1596 1689 1782 1875 1968 2061 2154 2247 2340 2433 2526 2619 2712 2805 2898
3083 3176 3269 3362 3455 3548 3550 3643 3736 3829 3922 4015 4108 4201 4294 4387 4480 4573 4666 4759 4852 4945 5038 5131 5224 5317 5410 5503 5596 5689 5782 5875 5968 6061 6154 6247 6340 6433 6526 6619 6712 6805 6898 6991 7084 7177 7270 7363 7456 7549 7642 7735 7737 7830 7923 8016 8109 8202 14 107 200 293 386 479 572 665 758 851 944 1037 1130 1223 1316 1409 1502 1595 1688 1781 1874 1967 2060 2153 2246 2339 2432 2525 2618 2711 2804 2897 2990
3175 3268 3361 3454 3547 3640 3642 3735 3828 3921 4014 4107 4200 4293 4386 4479 4572 4665 4758 4851 4944 5037 5130 5223 5316 5409 5502 5595 5688 5781 5874 5967 6060 6153 6246 6339 6432 6525 6618 6711 6804 6897 6990 7083 7176 7269 7362 7455 7548 7641 7734 7736 7829 7922 8015 8108 8201 13 106 199 292 385 478 571 664 757 850 943 1036 1129 1222 1315 1408 1501 1594 1687 1780 1873 1966 2059 2152 2245 2338 2431 2524 2617 2710 2803 2896 2989 3082
3267 3360 3453 3546 3639 3641 3734 3827 3920 4013 4106 4199 4292 4385 4478 4571 4664 4757 4850 4943 5036 5129 5222 5315 5408 5501 5594 5687 5780 5873 5966 6059 6152 6245 6338 6431 6524 6617 6710 6803 6896 6989 7082 7175 7268 7361 7454 7547 7640 7733 7826 7828 7921 8014 8107 8200 12 105 198 291 384 477 570 663 756 849 942 1035 1128 1221 1314 1407 1500 1593 1686 1779 1872 1965 2058 2151 2244 2337 2430 2523 2616 2709 2802 2895 2988 3081 3174
3359 3452 3545 3638 3731 3733 3826 3919 4012 4105 4198 4291 4384 4477 4570 4663 4756 4849 4942 5035 5128 5221 5314 5407 5500 5593 5686 5779 5872 5965 6058 6151 6244 6337 6430 6523 6616 6709 6802 6895 6988 7081 7174 7267 7360 7453 7546 7639 7732 7825 7827 7920 8013 8106 8199 11 104 197 290 383 476 569 662 755 848 941 1034 1127 1220 1313 1406 1499 1592 1685 1778 1871 1964 2057 2150 2243 2336 2429 2522 2615 2708 2801 2894 2987 3080 3173 3266
3451 3544 3637 3730 3732 3825 3918 4011 4104 4197 4290 4383 4476 4569 4662 4755 4848 4941 5034 5127 5220 5313 5406 5499 5592 5685 5778 5871 5964 6057 6150 6243 6336 6429 6522 6615 6708 6801 6894 6987 7080 7173 7266 7359 7452 7545 7638 7731 7824 7917 7919 8012 8105 8198 10 103 196 289 382 475 568 661 754 847 940 1033 1126 1219 1312 1405 1498 1591 1684 1777 1870 1963 2056 2149 2242 2335 2428 2521 2614 2707 2800 2893 2986 3079 3172 3265 3358
3543 3636 3729 3822 3824 3917 4010 4103 4196 4289 4382 4475 4568 4661 4754 4847 4940 5033 5126 5219 5312 5405 5498 5591 5684 5777 5870 5963 6056 6149 6242 6335 6428 6521 6614 6707 6800 6893 6986 7079 7172 7265 7358 7451 7544 7637 7730 7823 7916 7918 8011 8104 8197 9 102 195 288 381 474 567 660 753 846 939 1032 1125 1218 1311 1404 1497 1590 1683 1776 1869 1962 2055 2148 2241 2334 2427 2520 2613 2706 2799 2892 2985 3078 3171 3264 3357 3450
3635 3728 3821 3823 3916 4009 4102 4195 4288 4381 4474 4567 4660 4753 4846 4939 5032 5125 5218 5311 5404 5497 5590 5683 5776 5869 5962 6055 6148 6241 6334 6427 6520 6613 6706 6799 6892 6985 7078 7171 7264 7357 7450 7543 7636 7729 7822 7915 8008 8010 8103 8196 8 101 194 287 380 473 566 659 752 845 938 1031 1124 1217 1310 1403 1496 1589 1682 1775 1868 1961 2054 2147 2240 2333 2426 2519 2612 2705 2798 2891 2984 3077 3170 3263 3356 3449 3542
3727 3820 3913 3915 4008 4101 4194 4287 4380 4473 4566 4659 4752 4845 4938 5031 5124 5217 5310 5403 5496 5589 5682 5775 5868 5961 6054 6147 6240 6333 6426 6519 6612 6705 6798 6891 6984 7077 7170 7263 7356 7449 7542 7635 7728 7821 7914 8007 8009 8102 8195 7 100 193 286 379 472 565 658 751 844 937 1030 1123 1216 1309 1402 1495 1588 1681 1774 1867 1960 2053 2146 2239 2332 2425 2518 2611 2704 2797 2890 2983 3076 3169 3262 3355 3448 3541 3634
3819 3912 3914 4007 4100 4193 4286 4379 4472 4565 4658 4751 4844 4937 5030 5123 5216 5309 5402 5495 5588 5681 5774 5867 5960 6053 6146 6239 6332 6425 6518 6611 6704 6797 6890 6983 7076 7169 7262 7355 7448 7541 7634 7727 7820 7913 8006 8099 8101 8194 6 99 192 285 378 471 564 657 750 843 936 1029 1122 1215 1308 1401 1494 1587 1680 1773 1866 1959 2052 2145 2238 2331 2424 2517 2610 2703 2796 2889 2982 3075 3168 3261 3354 3447 3540 3633 3726
3911 4004 4006 4099 4192 4285 4378 4471 4564 4657 4750 4843 4936 5029 5122 5215 5308 5401 5494 5587 5680 5773 5866 5959 6052 6145 6238 6331 6424 6517 6610 6703 6796 6889 6982 7075 7168 7261 7354 7447 7540 7633 7726 7819 7912 8005 8098 8100 8193 5 98 191 284 377 470 563 656 749 842 935 1028 1121 1214 1307 1400 1493 1586 1679 1772 1865 1958 2051 2144 2237 2330 2423 2516 2609 2702 2795 2888 2981 3074 3167 3260 3353 3446 3539 3632 3725 3818
4003 4005 4098 4191 4284 4377 4470 4563 4656 4749 4842 4935 5028 5121 5214 5307 5400 5493 5586 5679 5772 5865 5958 6051 6144 6237 6330 6423 6516 6609 6702 6795 6888 6981 7074 7167 7260 7353 7446 7539 7632 7725 7818 7911 8004 8097 8190 8192 4 97 190 283 376 469 562 655 748 841 934 1027 1120 1213 1306 1399 1492 1585 1678 1771 1864 1957 2050 2143 2236 2329 2422 2515 2608 2701 2794 2887 2980 3073 3166 3259 3352 3445 3538 3631 3724 3817 3910
4095 4097 4190 4283 4376 4469 4562 4655 4748 4841 4934 5027 5120 5213 5306 5399 5492 5585 5678 5771 5864 5957 6050 6143 6236 6329 6422 6515 6608 6701 6794 6887 6980 7073 7166 7259 7352 7445 7538 7631 7724 7817 7910 8003 8096 8189 8191 3 96 189 282 375 468 561 654 747 840 933 1026 1119 1212 1305 1398 1491 1584 1677 1770 1863 1956 2049 2142 2235 2328 2421 2514 2607 2700 2793 2886 2979 3072 3165 3258 3351 3444 3537 3630 3723 3816 3909 4002
4096 4189 4282 4375 4468 4561 4654 4747 4840 4933 5026 5119 5212 5305 5398 5491 5584 5677 5770 5863 5956 6049 6142 6235 6328 6421 6514 6607 6700 6793 6886 6979 7072 7165 7258 7351 7444 7537 7630 7723 7816 7909 8002 8095 8188 8281 2 95 188 281 374 467 560 653 746 839 932 1025 1118 1211 1304 1397 1490 1583 1676 1769 1862 1955 2048 2141 2234 2327 2420 2513 2606 2699 2792 2885 2978 3071 3164 3257 3350 3443 3536 3629 3722 3815 3908 4001 4094


Please
Support Our Site



buy
Amazing Math Whiz
products from
our online store



Many other
Amazing Messages
are available

Please visit
www.MAZES.com/cp/
for details

How to Make Your Own Odd-Size Magic Square

  1. Draw a square with any odd number of rows and columns.
  2. Put your first number in the MIDDLE square of the TOP row.
  3. Move UP and to the RIGHT to find the position for your next number, but ...
    • if the next "position" is ABOVE a column, go to BOTTOM of that column (you can see a sample of this movement by looking at how we moved from 1 to 2 in the square above).
    • if the next "position" is to the RIGHT of a row, go to LEFT of that row (you can see this movement between (46) and (47) above).
    • if the next cell is already filled in, drop down to the cell below the number you just filled in for the next number (you can see this when you look at how we moved from 91 to the next number above).
    • if the next cell is both ABOVE and to the RIGHT of the entire square, drop down to the cell below the number you just filled in for your next number (you can see this if you look at (4186) and the next number).
  4. Print your NEXT number into the new square you just moved to.
  5. Repeat steps 3-4 until the entire square is full.
  6. You can see how it works by printing this page and drawing arrows to see how it worked when I created this magic square
This Magic Square was created by John Knoderer, a webmaster and computer programmer who is available to telecommute to your location.

If you found this page useful, and especially if you printed this page to distribute to students, we invite you to send a suitable donation to John (address below) or PayPal your donation to Donations (at) Mazes.com.

You can find more of John's puzzling materials at www.MAZES.com and at www.GodLovesEveryone.org. You can reach John at Webmaster (at) Mazes.com.

Fine Print: If you print and duplicate these magic squares for classroom use or other multiple copy use, please send a payment of $(however much you think this is worth) to the author. John puts a GREAT DEAL of time into creating and posting materials to the internet for you to use (and enjoy). Your donations will help pay bills and keep new materials coming your way.

Send your donations to:

John Knoderer
www.MAZES.com
P O Box 235
Sulphur Springs, AR 72768 USA

www.MAZES.com
www.GodLovesEveryone.org
www.DriverExam.org

E-mail the webmaster: webmaster (at) mazes.com

The contents of this page are copyright 2005 by the author. However, we recognize that teachers may wish to download and use our materials with their students. We give that permission, as long as the teacher sends what they believe to be a fair donation to the author each time the material is used.

 We also have other
Amazing Message
stores.

Click each image to see
many amazing choices


Amazing Teacher


Amazing Student


Amazing Student


Amazing Reader


Amazing Artist